数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を整理します。

$2a_{n+1} - 2a_n = 4n^2 + 2n - 1$

両辺を2で割ると、

$a_{n+1} - a_n = 2n^2 + n - \frac{1}{2}$

次に、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を $a_1$ との差で表します。

$a_n - a_1 = \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$a_1 = 3$ を代入し、$\sum$ を計算します。

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k^2 + k - \frac{1}{2})$

$= 3 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k - \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 3 + 2\frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{1}{2}(n-1)$

$= 3 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{3} + \frac{(n-1)n}{2} - \frac{n-1}{2}$

$= 3 + \frac{2n^3 - 3n^2 + n}{3} + \frac{n^2 - n}{2} - \frac{n-1}{2}$

$= 3 + \frac{2(2n^3 - 3n^2 + n) + 3(n^2 - n) - 3(n-1)}{6}$

$= 3 + \frac{4n^3 - 6n^2 + 2n + 3n^2 - 3n - 3n + 3}{6}$

$= 3 + \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 3}{6}$

$= \frac{18 + 4n^3 - 3n^2 - 4n + 3}{6}$

$= \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{4 - 3 - 4 + 21}{6} = \frac{18}{6} = 3$ となり、条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4n^3 - 3n^2 - 4n + 21}{6}$