以下の5つの問題について、$p$ の値を求めます。 Q8: $\sqrt{75} = p\sqrt{3}$ Q9: $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = p\sqrt{3}$ Q10: $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = p + 2\sqrt{15}$ Q11: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{p}$ Q12: $0.666... = \frac{p}{3}$

1. 問題の内容

以下の5つの問題について、$p$ の値を求めます。

Q8: $\sqrt{75} = p\sqrt{3}$

Q9: $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = p\sqrt{3}$

Q10: $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = p + 2\sqrt{15}$

Q11: $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{p}$

Q12: $0.666... = \frac{p}{3}$

2. 解き方の手順

* **Q8:** $\sqrt{75}$ を $p\sqrt{3}$ の形に変形します。

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

よって、$p = 5$ です。

* **Q9:** $5\sqrt{3} + 2\sqrt{3}$ を計算します。

$5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5+2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

よって、$p = 7$ です。

* **Q10:** $(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2$ を展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}$

よって、$p = 8$ です。

* **Q11:** $\frac{1}{\sqrt{5}}$ の分母を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

よって、$p = 5$ です。

* **Q12:** 循環小数 $0.666...$ を分数で表します。

$0.666... = \frac{2}{3}$

$\frac{2}{3} = \frac{p}{3}$

よって、$p = 2$ です。

3. 最終的な答え

Q8: 5

Q9: 7

Q10: 8

Q11: 5

Q12: 2