平面上に2点 A, B があり、$AB=8$ である。直線 AB 上にない点 P をとり、$\triangle ABP$ を作る。$\triangle ABP$ の外接円の半径を $R$ とする。点 P をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径 $R$ が最小となる $\triangle ABP$ はどのような三角形か。また、そのときの $R$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に2点 A, B があり、$AB=8$ である。直線 AB 上にない点 P をとり、$\triangle ABP$ を作る。$\triangle ABP$ の外接円の半径を $R$ とする。点 P をいろいろな位置にとるとき、外接円の半径 $R$ が最小となる $\triangle ABP$ はどのような三角形か。また、そのときの $R$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$2R = \frac{AB}{\sin{\angle APB}}$ が成り立つ。$AB$ の長さは固定されているので、$R$ が最小となるのは、$\sin{\angle APB}$ が最大となるときである。$\sin{\angle APB}$ が最大となるのは、$\sin{\angle APB} = 1$ となるとき、つまり $\angle APB = 90^{\circ}$ のときである。このとき、$\triangle ABP$ は $\angle APB$ を直角とする直角三角形となる。

$\angle APB = 90^{\circ}$ のとき、$\triangle ABP$ の外接円の中心は斜辺 AB の中点となり、外接円の半径 $R$ は $R = \frac{AB}{2}$ で与えられる。

$AB = 8$ より、$R = \frac{8}{2} = 4$ となる。

3. 最終的な答え

外接円の半径 $R$ が最小となる $\triangle ABP$ は直角三角形であり、そのときの $R$ の値は $R=4$ である。