複素数平面上に3点 A($\alpha = 1+i$), B($\beta = 5+3i$), C($\gamma$) がある。これらの点を頂点とする正三角形 ABC を作るとき、複素数 $\gamma$ を求めよ。 ただし、$\alpha, \beta, \gamma$ は $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$ を満たすとする。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点 A($\alpha = 1+i$), B($\beta = 5+3i$), C($\gamma$) がある。これらの点を頂点とする正三角形 ABC を作るとき、複素数 $\gamma$ を求めよ。 ただし、$\alpha, \beta, \gamma$ は $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$ を満たすとする。

2. 解き方の手順

正三角形の頂点を反時計回りに A, B, C とすると、$\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) e^{i\pi/3}$ または $\gamma - \alpha = (\beta - \alpha) e^{-i\pi/3}$ が成り立つ。

ここで、$e^{i\pi/3} = \cos(\pi/3) + i\sin(\pi/3) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ である。

したがって、

$\gamma = \alpha + (\beta - \alpha) (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ または $\gamma = \alpha + (\beta - \alpha) (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i)$ となる。

$\beta - \alpha = (5+3i) - (1+i) = 4+2i$ であるから、

$\gamma = (1+i) + (4+2i)(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1+i + 2 + i\sqrt{3} + i - \sqrt{3} = (3-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3})i$

または、

$\gamma = (1+i) + (4+2i)(\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 1+i + 2 - i\sqrt{3} + i + \sqrt{3} = (3+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})i$

問題文の条件 $4\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 0$ は、$\alpha$ と $\beta$ が与えられているので、$\alpha, \beta$ の値を入れて確認する必要がある。

$\alpha = 1+i$, $\beta = 5+3i$

$4(1+i)^2 - 2(1+i)(5+3i) + (5+3i)^2 = 4(1+2i-1) - 2(5+3i+5i-3) + (25+30i-9) = 8i - 2(2+8i) + 16+30i = 8i - 4 - 16i + 16 + 30i = 12 + 22i \neq 0$.

条件が異なっていたので、正三角形の条件から導き出す。

正三角形ABCを反時計回りとすると、 $\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\gamma - \beta = (\alpha - \beta)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\gamma = \beta + (\alpha - \beta)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \beta - (\beta - \alpha)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 5+3i - (4+2i)(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 5+3i - (2+i\sqrt{3}+i-\sqrt{3}) = 5+3i - (2-\sqrt{3} + (1+\sqrt{3})i) = 3+\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})i$

正三角形ABCを時計回りとすると、 $\frac{\gamma - \beta}{\alpha - \beta} = \cos{\frac{-\pi}{3}} + i\sin{\frac{-\pi}{3}} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\gamma - \beta = (\alpha - \beta)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\gamma = \beta + (\alpha - \beta)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \beta - (\beta - \alpha)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$

$= 5+3i - (4+2i)(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 5+3i - (2-i\sqrt{3}+i+\sqrt{3}) = 5+3i - (2+\sqrt{3} + (1-\sqrt{3})i) = 3-\sqrt{3} + (2+\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

$\gamma = 3+\sqrt{3} + (2-\sqrt{3})i$ または $\gamma = 3-\sqrt{3} + (2+\sqrt{3})i$