$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $2ab + b^2$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{10}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $2ab + b^2$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{10}$ の整数部分 $a$ を求めます。

$\sqrt{9} = 3$ であり、$\sqrt{16} = 4$ であるため、$3 < \sqrt{10} < 4$ となります。

したがって、$\sqrt{10}$ の整数部分は $3$ であるため、$a = 3$ です。

次に、小数部分 $b$ を求めます。

$b = \sqrt{10} - a$ であるので、$b = \sqrt{10} - 3$ となります。

(2) $2ab + b^2$ の値を求めます。

$2ab + b^2 = b(2a + b)$

$a = 3$ および $b = \sqrt{10} - 3$ を代入します。

$2ab + b^2 = (\sqrt{10} - 3)(2(3) + \sqrt{10} - 3)$

$= (\sqrt{10} - 3)(6 + \sqrt{10} - 3)$

$= (\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)$

$= (\sqrt{10})^2 - (3)^2$

$= 10 - 9$

$= 1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = \sqrt{10} - 3$

(2) $2ab + b^2 = 1$