以下の4つの等差数列の和を求める問題です。 (1) 初項10, 末項-2の等差数列の初項から第20項までの和 $S_{20}$ (2) 初項2, 公差-4の等差数列の初項から第12項までの和 $S_{12}$ (3) 初項-1, 公差2の等差数列の初項から第n項までの和 $S_n$ (4) 自然数の和の初項から第n項までの和 $S_n$

1. 問題の内容

以下の4つの等差数列の和を求める問題です。

(1) 初項10, 末項-2の等差数列の初項から第20項までの和 $S_{20}$

(2) 初項2, 公差-4の等差数列の初項から第12項までの和 $S_{12}$

(3) 初項-1, 公差2の等差数列の初項から第n項までの和 $S_n$

(4) 自然数の和の初項から第n項までの和 $S_n$

2. 解き方の手順

等差数列の和の公式は次のとおりです。

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ （初項と末項がわかっている場合）

$S_n = \frac{n}{2}\{2a_1 + (n-1)d\}$ （初項と公差がわかっている場合）

ここで、$S_n$は初項から第n項までの和、$n$は項数、$a_1$は初項、$a_n$は末項、$d$は公差です。

(1) 初項10, 末項-2, 項数20の場合

$S_{20} = \frac{20}{2}(10 + (-2)) = 10(8) = 80$

(2) 初項2, 公差-4, 項数12の場合

$S_{12} = \frac{12}{2}\{2(2) + (12-1)(-4)\} = 6\{4 + 11(-4)\} = 6\{4 - 44\} = 6(-40) = -240$

(3) 初項-1, 公差2, 項数nの場合

$S_n = \frac{n}{2}\{2(-1) + (n-1)(2)\} = \frac{n}{2}\{-2 + 2n - 2\} = \frac{n}{2}(2n - 4) = n(n - 2) = n^2 - 2n$

(4) 自然数の和の場合、初項1, 公差1なので、

$S_n = \frac{n}{2}\{2(1) + (n-1)(1)\} = \frac{n}{2}\{2 + n - 1\} = \frac{n}{2}(n+1) = \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_{20} = 80$

(2) $S_{12} = -240$

(3) $S_n = n^2 - 2n$

(4) $S_n = \frac{n(n+1)}{2}$