次の計算をしなさい。 $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

1. 問題の内容

次の計算をしなさい。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。

最初の分数の分母を有理化するために、分母と分子に $(\sqrt{2}-1)$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}-2+\sqrt{2}}{2-1} = \sqrt{6}-\sqrt{3}-2+\sqrt{2}$

次の分数の分母を有理化するために、分母と分子に $(\sqrt{2}+1)$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2}}{2-1} = \sqrt{6}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2}$

次に、上記で得られた2つの式を足し合わせます。

$(\sqrt{6}-\sqrt{3}-2+\sqrt{2}) + (\sqrt{6}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2}) = \sqrt{6}-\sqrt{3}-2+\sqrt{2} + \sqrt{6}+\sqrt{3}+2+\sqrt{2} = 2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6}+2\sqrt{2}$