## 問題の内容

## 問題の内容

画像に写っている数学の問題は、大きく分けて2種類あります。

1. **分母の有理化**: 分母に根号を含む分数を、分母に根号を含まない形に変形する問題です。具体的には、$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{11}}$, $\frac{9}{\sqrt{13}}$, $\frac{2}{3\sqrt{5}}$, $\frac{9}{4\sqrt{3}}$, $\frac{3}{\sqrt{27}}$, $\frac{7}{\sqrt{98}}$, $\frac{8}{\sqrt{28}}$, $\frac{5}{\sqrt{45}}$, $\frac{3}{\sqrt{48}}$, $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{54}}$, $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{90}}$ の有理化を求めます。

2. **根号を含む式の除法**: 根号を含む数の除算を行う問題です。具体的には、$\sqrt{10} \div \sqrt{6}$, $\sqrt{63} \div \sqrt{2}$, $\sqrt{12} \div \sqrt{21}$, $\sqrt{5} \div (-\sqrt{60})$, $(-14\sqrt{2}) \div \sqrt{28}$, $(-9\sqrt{3}) \div (-15\sqrt{7})$, $\sqrt{63} \div \sqrt{45}$, $\sqrt{143} \div \sqrt{39}$, $\sqrt{75} \div \sqrt{30}$ の計算を求めます。

## 解き方の手順

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1. 分母の有理化

分母の有理化は、分母と分子に同じ根号の数を掛けることで行います。例えば、$\frac{a}{\sqrt{b}}$ を有理化する場合、分母と分子に$\sqrt{b}$ を掛けて $\frac{a\sqrt{b}}{b}$ とします。

いくつか例を挙げます。

* $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$ の場合:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$

* $\frac{2}{3\sqrt{5}}$ の場合:

$\frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2 \times \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \times 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$

* $\frac{3}{\sqrt{27}}$ の場合:

まず、$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$ と変形します。

すると $\frac{3}{\sqrt{27}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ となるので、

$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

* $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{90}}$ の場合:

まず、$\sqrt{90}=\sqrt{9 \times 10} = 3\sqrt{10}$と変形します。

すると $\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{90}}=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}$となるので、

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{10}}{\sqrt{10} \times \sqrt{10}}=\frac{\sqrt{20}}{10}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

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2. 根号を含む式の除法

根号を含む式の除法は、分数として表現し、必要に応じて有理化を行うことで計算します。例えば、$\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ です。

いくつか例を挙げます。

* $\sqrt{10} \div \sqrt{6}$ の場合:

$\sqrt{10} \div \sqrt{6} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{10} \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{60}}{6} = \frac{\sqrt{4 \times 15}}{6} = \frac{2\sqrt{15}}{6} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

* $\sqrt{5} \div (-\sqrt{60})$ の場合:

$\sqrt{5} \div (-\sqrt{60}) = \frac{\sqrt{5}}{-\sqrt{60}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{60}} = -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4 \times 15}} = -\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{15}}{2\sqrt{15} \times \sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{75}}{2 \times 15} = -\frac{\sqrt{25 \times 3}}{30} = -\frac{5\sqrt{3}}{30} = -\frac{\sqrt{3}}{6}$

* $(-14\sqrt{2}) \div \sqrt{28}$ の場合:

$(-14\sqrt{2}) \div \sqrt{28} = \frac{-14\sqrt{2}}{\sqrt{28}} = \frac{-14\sqrt{2}}{\sqrt{4 \times 7}} = \frac{-14\sqrt{2}}{2\sqrt{7}} = \frac{-7\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = \frac{-7\sqrt{2} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{-7\sqrt{14}}{7} = -\sqrt{14}$

## 最終的な答え

それぞれの問題に対する答えは以下の通りです。

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4. 分母の有理化**

(1) $\frac{\sqrt{14}}{7}$

(2) $\frac{\sqrt{55}}{11}$

(3) $\frac{9\sqrt{13}}{13}$

(4) $\frac{2\sqrt{5}}{15}$

(5) $\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(6) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

(7) $\frac{\sqrt{98}}{14}=\frac{7\sqrt{2}}{14}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(8) $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

(9) $\frac{\sqrt{5}}{9}$

(10) $\frac{\sqrt{3}}{4}$

(11) $\frac{\sqrt{30}}{18}$

(12) $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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5. 根号を含む式の除法**

(1) $\frac{\sqrt{15}}{3}$

(2) $\frac{3\sqrt{14}}{2}$

(3) $\frac{2\sqrt{7}}{7}$

(4) $-\frac{\sqrt{3}}{6}$

(5) $-\sqrt{14}$

(6) $\frac{\sqrt{21}}{5}$

(7) $\frac{\sqrt{35}}{5}$

(8) $\frac{\sqrt{429}}{39}$

(9) $\frac{\sqrt{10}}{2}$