6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を選んで並べて4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えなさい。 (1) 4桁の整数は何個作れるか。 (2) 4桁の奇数は何個作れるか。 (3) 4桁の5の倍数は何個作れるか。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる4個を選んで並べて4桁の整数を作るとき、以下の問いに答えなさい。

(1) 4桁の整数は何個作れるか。

(2) 4桁の奇数は何個作れるか。

(3) 4桁の5の倍数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の整数

まず、千の位は0以外の数字である必要があるため、5通りの選択肢があります。

次に、百の位は残りの5つの数字から選ぶので5通り、十の位は残りの4つの数字から選ぶので4通り、一の位は残りの3つの数字から選ぶので3通りとなります。

したがって、4桁の整数の個数は、$5 \times 5 \times 4 \times 3$ で計算できます。

(2) 4桁の奇数

一の位が奇数である必要があります。奇数は1, 3, 5の3つなので、まず一の位を決めます（3通り）。

次に、千の位は0以外の数字である必要がありますが、すでに一の位に一つの奇数を使っているので場合分けが必要です。

　i) 千の位に0と一の位に使っていない奇数以外の数字を選ぶ場合、選択肢は4通り。百の位は0を含めた残りの4つの数字から選ぶので4通り、十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。この場合の組み合わせは $3 \times 4 \times 4 \times 3 = 144$通り。

　ii) 千の位に0以外の偶数を選ぶ場合、選択肢は2通り(2と4)。百の位は0を含めた残りの4つの数字から選ぶので4通り、十の位は残りの3つの数字から選ぶので3通り。この場合の組み合わせは $3 \times 2 \times 4 \times 3 = 72$通り。

場合分けを考慮して、合計の奇数の個数を計算します。

(3) 4桁の5の倍数

5の倍数は、一の位が0または5である必要があります。

　i) 一の位が0の場合、千の位は0以外の5通り、百の位は残りの4通り、十の位は残りの3通りなので、$5 \times 4 \times 3 = 60$通り。

　ii) 一の位が5の場合、千の位は0以外の4通り（0と5を除く）、百の位は0を含めた残りの4通り、十の位は残りの3通りなので、$4 \times 4 \times 3 = 48$通り。

したがって、4桁の5の倍数の個数は、$60 + 48$で計算できます。

3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数の個数: $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$個

(2) 4桁の奇数の個数: $144 + 72 = 216$個

(3) 4桁の5の倍数の個数: $60 + 48 = 108$個