次の2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。 (1) $y = x^2 - 3x - 1$ (定義域: $0 \leq x \leq 2$) (2) $y = -3x^2 - 5x$ (定義域: $-2 \leq x \leq 1$)

1. 問題の内容

次の2次関数の最大値と最小値を、与えられた定義域内で求めます。

(1) $y = x^2 - 3x - 1$ (定義域: $0 \leq x \leq 2$)

(2) $y = -3x^2 - 5x$ (定義域: $-2 \leq x \leq 1$)

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 3x - 1$ を平方完成します。

$y = x^2 - 3x - 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 - 1 = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - \frac{4}{4} = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{13}{4}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{13}{4})$ です。

定義域 $0 \leq x \leq 2$ における $y$ の値を考えます。

$x = 0$ のとき $y = 0^2 - 3(0) - 1 = -1$

$x = 2$ のとき $y = 2^2 - 3(2) - 1 = 4 - 6 - 1 = -3$

$x = \frac{3}{2}$ のとき $y = (\frac{3}{2})^2 - 3(\frac{3}{2}) - 1 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 1 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{13}{4}$

定義域の端点と頂点の$y$座標を比較すると、$x=0$のとき最大値$-1$をとり、$x=\frac{3}{2}$のとき最小値$-\frac{13}{4}$をとります。

(2)

次に、$y = -3x^2 - 5x$ を平方完成します。

$y = -3x^2 - 5x = -3(x^2 + \frac{5}{3}x) = -3[(x + \frac{5}{6})^2 - (\frac{5}{6})^2] = -3(x + \frac{5}{6})^2 + 3 \cdot \frac{25}{36} = -3(x + \frac{5}{6})^2 + \frac{25}{12}$

頂点の座標は $(-\frac{5}{6}, \frac{25}{12})$ です。

定義域 $-2 \leq x \leq 1$ における $y$ の値を考えます。

$x = -2$ のとき $y = -3(-2)^2 - 5(-2) = -3(4) + 10 = -12 + 10 = -2$

$x = 1$ のとき $y = -3(1)^2 - 5(1) = -3 - 5 = -8$

$x = -\frac{5}{6}$ のとき $y = -3(-\frac{5}{6})^2 - 5(-\frac{5}{6}) = -3(\frac{25}{36}) + \frac{25}{6} = -\frac{25}{12} + \frac{50}{12} = \frac{25}{12}$

定義域の端点と頂点の$y$座標を比較すると、$x=-\frac{5}{6}$のとき最大値$\frac{25}{12}$をとり、$x=1$のとき最小値$-8$をとります。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $-1$ (x=0), 最小値: $-\frac{13}{4}$ (x=$\frac{3}{2}$)

(2) 最大値: $\frac{25}{12}$ (x=$-\frac{5}{6}$), 最小値: $-8$ (x=1)