(1) 複素数の割り算 $\frac{2+3i}{1+i}$ を計算する。 (2) $z^2 = i$ を満たす複素数 $z$ を求める。

代数学複素数複素数の計算複素数の割り算複素数の平方根
2025/3/29

1. 問題の内容

(1) 複素数の割り算 2+3i1+i\frac{2+3i}{1+i} を計算する。
(2) z2=iz^2 = i を満たす複素数 zz を求める。

2. 解き方の手順

(1) 分母の複素共役を分母分子に掛けて計算します。
\begin{align*} \frac{2+3i}{1+i} &= \frac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} \\ &= \frac{2 - 2i + 3i - 3i^2}{1 - i^2} \\ &= \frac{2 + i + 3}{1 + 1} \\ &= \frac{5 + i}{2} \\ &= \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i \end{align*}
(2) z=x+yiz = x + yi (x,yx, y は実数) とおくと、
z2=(x+yi)2=x2+2xyiy2=(x2y2)+2xyiz^2 = (x+yi)^2 = x^2 + 2xyi - y^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi
これが ii に等しいので、
x2y2=0x^2 - y^2 = 0
2xy=12xy = 1
x2=y2x^2 = y^2 より x=yx = y または x=yx = -y である。
2xy=12xy = 1 より xxyy は同符号なので、x=yx = y である。
2x2=12x^2 = 1
x2=12x^2 = \frac{1}{2}
x=±12=±22x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
x=yx = y なので、
x=22x = \frac{\sqrt{2}}{2} のとき y=22y = \frac{\sqrt{2}}{2}
x=22x = -\frac{\sqrt{2}}{2} のとき y=22y = -\frac{\sqrt{2}}{2}
したがって、z=22+22iz = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i または z=2222iz = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i

3. 最終的な答え

(1) 52+12i\frac{5}{2} + \frac{1}{2}i
(2) z=22+22i,2222iz = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i, -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i

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