与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める問題です。内容は、分数の小数表示、絶対値、式の計算（根号を含む）、分母の有理化、実数の整数部分と小数部分です。

1. 問題の内容

与えられた数学の問題を解き、空欄を埋める問題です。内容は、分数の小数表示、絶対値、式の計算（根号を含む）、分母の有理化、実数の整数部分と小数部分です。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{6}$を小数で表す。

$1 \div 6 = 0.1666...$なので、小数表示は$0.1666...$となります。問題文の空欄のサイズから、小数点以下2桁で四捨五入して答えることが予想されます。

$0.1666... \approx 0.17$

(2) $|\sqrt{3}|$ と $|2-\sqrt{5}|$ を計算する。

$|\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

$\sqrt{5} \approx 2.236$より、$2 - \sqrt{5} < 0$なので、

$|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = \sqrt{5}-2$

(3) $\sqrt{6} \times \sqrt{15}$ と $\sqrt{3}-\sqrt{27}$ と $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$ を計算する。

$\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{6 \times 15} = \sqrt{2 \times 3 \times 3 \times 5} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{3} - \sqrt{27} = \sqrt{3} - \sqrt{3^3} = \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \times 3} = 8 + 2 \times 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}$

(4) $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ と $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ の分母を有理化する。

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

(5) $\sqrt{5}+2$の整数部分$a$と小数部分$b$を求める。

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$より、$2 < \sqrt{5} < 3$。よって、$4 < \sqrt{5} + 2 < 5$なので、整数部分$a=4$。

小数部分$b = (\sqrt{5}+2) - a = \sqrt{5}+2 - 4 = \sqrt{5}-2$

3. 最終的な答え

(1) $0.17$

(2) $\sqrt{3}, \sqrt{5}-2$

(3) $3\sqrt{10}, -2\sqrt{3}, 8+4\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{2}}{6}, \sqrt{3}+1$

(5) $a=4, b=\sqrt{5}-2$