与えられた数 $\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を比較し、不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた数 $\sqrt[4]{32}$, $\sqrt[3]{16}$, $\sqrt{8}$ の大小を比較し、不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべてを同じ指数を持つべき乗の形に変換します。

$\sqrt[4]{32} = 32^{\frac{1}{4}} = (2^5)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{5}{4}}$

$\sqrt[3]{16} = 16^{\frac{1}{3}} = (2^4)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}$

$\sqrt{8} = 8^{\frac{1}{2}} = (2^3)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$

次に、指数 $\frac{5}{4}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{3}{2}$ を比較します。これらの分数の共通の分母は12です。

$\frac{5}{4} = \frac{5 \times 3}{4 \times 3} = \frac{15}{12}$

$\frac{4}{3} = \frac{4 \times 4}{3 \times 4} = \frac{16}{12}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \times 6}{2 \times 6} = \frac{18}{12}$

したがって、$\frac{15}{12} < \frac{16}{12} < \frac{18}{12}$　となり、

$2^{\frac{15}{12}} < 2^{\frac{16}{12}} < 2^{\frac{18}{12}}$です。

元の数に戻すと、$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$ となります。

3. 最終的な答え

$\sqrt[4]{32} < \sqrt[3]{16} < \sqrt{8}$