$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べよ。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[5]{27}$ を小さい順に並べよ。

2. 解き方の手順

これらの数を比較するために、すべて同じ指数を持つ累乗根の形に変形します。

まず、各数を指数の形に書き換えます。

$\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{9} = 9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{2}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt[5]{27} = 27^{\frac{1}{5}} = (3^3)^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{3}{5}}$

次に、指数 $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{3}{5}$ の共通分母を見つけます。

3, 2, 5 の最小公倍数は 30 です。

したがって、各指数を分母が30になるように変換します。

$3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{10}{30}} = (3^{10})^{\frac{1}{30}}$

$3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{15}{30}} = (3^{15})^{\frac{1}{30}}$

$3^{\frac{3}{5}} = 3^{\frac{18}{30}} = (3^{18})^{\frac{1}{30}}$

次に、$3^{10}$, $3^{15}$, $3^{18}$ の値を比較します。

$3^{10} = 59049$

$3^{15} = 14348907$

$3^{18} = 387420489$

したがって、$3^{10} < 3^{15} < 3^{18}$ なので、

$(3^{10})^{\frac{1}{30}} < (3^{15})^{\frac{1}{30}} < (3^{18})^{\frac{1}{30}}$

つまり、$3^{\frac{1}{3}} < 3^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{3}{5}}$

元の形に戻すと、

$\sqrt[3]{3} < \sqrt[4]{9} < \sqrt[5]{27}$

3. 最終的な答え

$\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{9}$, $\sqrt[5]{27}$