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## 問題の解法

算数組み合わせ順列整数の個数
2025/6/24
## 問題の解法
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1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5の中から異なる数字を用いて、以下の条件を満たす整数の個数を求めます。
(1) 4桁の整数
(2) 両端の数字が奇数である5桁の整数
(3) 4桁の奇数
(4) 4桁の偶数
(5) 4桁の5の倍数
(6) 2400より大きい4桁の整数
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2. 解き方の手順

**(1) 4桁の整数**
* 千の位には0以外の数字（1, 2, 3, 4, 5）のいずれかを選ぶことができるので、5通り。
* 百の位には、千の位で使った数字以外の数字（0を含む）を選ぶことができるので、5通り。
* 十の位には、千の位と百の位で使った数字以外の数字を選ぶことができるので、4通り。
* 一の位には、千の位、百の位、十の位で使った数字以外の数字を選ぶことができるので、3通り。
したがって、4桁の整数の個数は、5×5×4×3=3005 \times 5 \times 4 \times 3 = 300 個です。
**(2) 両端の数字が奇数である5桁の整数**
* 万の位には奇数(1,3,5)のいずれかを選ぶことができるので、3通り。
* 一の位には、万の位で使った奇数以外の奇数を選ぶことができるので、2通り。
* 千の位には、0を含めた残りの4つの数字から選べるので、4通り。
* 百の位には、千の位までに使った数字以外の数字を選ぶことができるので、3通り。
* 十の位には、千の位、百の位までに使った数字以外の数字を選ぶことができるので、2通り。
したがって、両端の数字が奇数である5桁の整数の個数は、3×2×4×3×2=1443 \times 2 \times 4 \times 3 \times 2 = 144 個です。
**(3) 4桁の奇数**
* 一の位には奇数(1, 3, 5)のいずれかを選ぶことができるので、3通り。
* 千の位には0以外の数字を選ぶ必要があります。
* 一の位が奇数の場合、千の位には、0と一の位で使用した奇数以外の4個の数字から選べます。
* 百の位には、千の位と一の位で使った数字以外の数字を選ぶことができるので、4通り。
* 十の位には、千の位、百の位、一の位で使った数字以外の数字を選ぶことができるので、3通り。
したがって、4桁の奇数の個数は、4×4×3×3=1444 \times 4 \times 3 \times 3 = 144 個です。
**(4) 4桁の偶数**
* 一の位には偶数(0, 2, 4)のいずれかを選ぶことができるので、3通り。
* 千の位には0以外の数字を選ぶ必要があります。
* (i)一の位に0を選んだとき、千の位は1～5の5通り。百の位は4通り、十の位は3通り。
* (ii)一の位に2,4を選んだとき、千の位は0以外の4通り。百の位は4通り、十の位は3通り。
(i) 1×5×4×3=601 \times 5 \times 4 \times 3 = 60 個。
(ii) 2×4×4×3=962 \times 4 \times 4 \times 3 = 96 個。
したがって、4桁の偶数の個数は、60+96=15660+96 = 156 個です。
**(5) 4桁の5の倍数**
* 一の位には0または5を選ぶことができます。したがって、2通り。
* (i) 一の位に0を選んだ場合、千の位は0以外(1,2,3,4,5)の5通り。百の位は4通り、十の位は3通り。
* (ii) 一の位に5を選んだ場合、千の位は0以外(1,2,3,4)の4通り。百の位は4通り、十の位は3通り。
(i) 1×5×4×3=601 \times 5 \times 4 \times 3 = 60 個。
(ii) 1×4×4×3=481 \times 4 \times 4 \times 3 = 48 個。
したがって、4桁の5の倍数の個数は、60+48=10860+48 = 108 個です。
**(6) 2400より大きい4桁の整数**
* 千の位が2の場合、百の位は4,5のいずれかです。
* 千の位が2、百の位が4の場合、十の位は0,1,3,5のいずれかです。
* 千の位が2、百の位が5の場合、十の位は0,1,3,4のいずれかです。
* 千の位が3,4,5の場合、百の位、十の位、一の位は残りの数字から任意に選べます。
* 千の位が2,百の位が4の場合、十の位が4通り、一の位が3通り。1×1×4×3=121 \times 1 \times 4 \times 3 = 12個。
* 千の位が2,百の位が5の場合、十の位が4通り、一の位が3通り。1×1×4×3=121 \times 1 \times 4 \times 3 = 12個。
* 千の位が3,4,5の場合、百の位が5通り、十の位が4通り、一の位が3通り。3×5×4×3=1803 \times 5 \times 4 \times 3 = 180個。
したがって、2400より大きい4桁の整数の個数は、12+12+180=20412+12+180 = 204 個です。
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3. 最終的な答え

(1) 4桁の整数：300個
(2) 両端の数字が奇数である5桁の整数：144個
(3) 4桁の奇数：144個
(4) 4桁の偶数：156個
(5) 4桁の5の倍数：108個
(6) 2400より大きい4桁の整数：204個

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