1. 問題の内容
5個の数字0, 1, 2, 3, 4の中から異なる3つの数字を用いて作れる3桁の整数のうち、3の倍数は何個あるか。
2. 解き方の手順
3の倍数になるための条件は、各位の数字の和が3の倍数になることです。
まず、0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選び、それらの和が3の倍数になる組み合わせを考えます。
(1) 和が3の倍数になる組み合わせ
- {0, 1, 2} (和は3)
- {0, 2, 4} (和は6)
- {1, 2, 3} (和は6)
- {2, 3, 4} (和は9)
- {0, 3, 3} これは異なる数字ではないので除外
- {1, 2, 0}, {2, 4, 0}, {1, 2, 3}, {2, 3, 4}
次に、それぞれの組み合わせから3桁の整数が何個作れるかを考えます。
(2) 各組み合わせから作れる3桁の整数の個数
- {0, 1, 2}:
百の位に0は使えないので、百の位は1か2のどちらかです。
百の位を決めると、残りの2つの数字で十の位と一の位を決めるので、2!通りあります。
したがって、2 * 2! = 2 * 2 = 4個作れます。
- {0, 2, 4}:
百の位に0は使えないので、百の位は2か4のどちらかです。
同様に、2 * 2! = 2 * 2 = 4個作れます。
- {1, 2, 3}:
百の位には1, 2, 3のどれでも使えるので、3通りあります。
残りの2つの数字で十の位と一の位を決めるので、2!通りあります。
したがって、3 * 2! = 3 * 2 = 6個作れます。
- {2, 3, 4}:
百の位には2, 3, 4のどれでも使えるので、3通りあります。
残りの2つの数字で十の位と一の位を決めるので、2!通りあります。
したがって、3 * 2! = 3 * 2 = 6個作れます。
(3) 合計
4 + 4 + 6 + 6 = 20個
3. 最終的な答え
20個