1から100までの自然数について、以下の数の和を求める問題です。 (1) 3の倍数 (2) 4の倍数 (3) 12の倍数 (4) 7で割ると3余る数 (5) 3または4の倍数 (6) 3で割り切れない数

1. 問題の内容

1から100までの自然数について、以下の数の和を求める問題です。

(1) 3の倍数

(2) 4の倍数

(3) 12の倍数

(4) 7で割ると3余る数

(5) 3または4の倍数

(6) 3で割り切れない数

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数の和

1から100までの3の倍数は、3, 6, 9, ..., 99の33個です。

等差数列の和の公式を用いて、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n=33$, $a_1=3$, $a_n=99$なので、

$S = \frac{33(3 + 99)}{2} = \frac{33 \times 102}{2} = 33 \times 51 = 1683$

(2) 4の倍数の和

1から100までの4の倍数は、4, 8, 12, ..., 100の25個です。

等差数列の和の公式を用いて、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n=25$, $a_1=4$, $a_n=100$なので、

$S = \frac{25(4 + 100)}{2} = \frac{25 \times 104}{2} = 25 \times 52 = 1300$

(3) 12の倍数の和

1から100までの12の倍数は、12, 24, 36, ..., 96の8個です。

等差数列の和の公式を用いて、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n=8$, $a_1=12$, $a_n=96$なので、

$S = \frac{8(12 + 96)}{2} = \frac{8 \times 108}{2} = 4 \times 108 = 432$

(4) 7で割ると3余る数の和

1から100までの7で割ると3余る数は、3, 10, 17, ..., 94です。

これは$7n + 3$の形で表され、$7n + 3 \le 100$を満たす最大の$n$は$n = 13$であるため、14個の数があります ($n=0, 1, ..., 13$)。

等差数列の和の公式を用いて、

$S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

ここで、$n=14$, $a_1=3$, $a_n=94$なので、

$S = \frac{14(3 + 94)}{2} = \frac{14 \times 97}{2} = 7 \times 97 = 679$

(5) 3または4の倍数の和

3の倍数の和と4の倍数の和を足し、3と4の公倍数である12の倍数の和を引きます。

$S = (3の倍数の和) + (4の倍数の和) - (12の倍数の和) = 1683 + 1300 - 432 = 2983 - 432 = 2551$

(6) 3で割り切れない数の和

1から100までの自然数の和から3の倍数の和を引きます。

1から100までの自然数の和は、

$S_{1-100} = \frac{100(1 + 100)}{2} = \frac{100 \times 101}{2} = 50 \times 101 = 5050$

したがって、3で割り切れない数の和は、

$S = S_{1-100} - (3の倍数の和) = 5050 - 1683 = 3367$

3. 最終的な答え

(1) 3の倍数の和: 1683

(2) 4の倍数の和: 1300

(3) 12の倍数の和: 432

(4) 7で割ると3余る数の和: 679

(5) 3または4の倍数の和: 2551

(6) 3で割り切れない数の和: 3367