YOKOHAMAの8文字を並べる問題。 (1) 異なる並べ方の総数を求める。 (2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方の総数を求める。 (3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を並べる問題。

(1) 異なる並べ方の総数を求める。

(2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方の総数を求める。

(3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方：

YOKOHAMAの8文字のうち、Aが3つある。したがって、異なる並べ方の総数は、

$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) OとAが必ず偶数番目にある並べ方：

偶数番目は2, 4, 6, 8番目の4つ。OとAは偶数番目に配置する必要がある。

Aが3つ、Oが1つなので、まず、OとAを偶数番目に配置する。

4つの偶数番目からOを置く場所を1つ選び、残りの3つの場所からAを3つ置く場所を選ぶ。

Oの場所の選び方は $_4C_1 = 4$ 通り。Aの場所の選び方は $_3C_3 = 1$ 通り。

OとAの配置が決まったら、残りの4つの文字(Y, K, H, M)を奇数番目の1, 3, 5, 7番目に並べる。

この並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

したがって、OとAが必ず偶数番目にある並べ方は、

$4 \times 24 = 96$

(3) Y, K, H, Mがこの順にある並べ方：

まず、Y, K, H, M の代わりに同じ文字Xを4つ使うことを考える。

YOKOHAMAのY, K, H, MをXに置き換えると、XOXXAAAという8文字になる。

この8文字の並べ方は $\frac{8!}{4!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$ 通り。

次に、Xを左から順にY, K, H, Mに置き換える。

したがって、Y, K, H, Mがこの順にある並べ方は280通り。

3. 最終的な答え

(1) 6720通り

(2) 96通り

(3) 280通り