与えられた分数の分母を有理化する問題です。 与えられた式は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。

与えられた式は $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}$

分母は $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を使って計算します。

$(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

分子は $(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2$ を展開します。

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} = \frac{2(4 - \sqrt{15})}{2} = 4 - \sqrt{15}$

3. 最終的な答え

$4 - \sqrt{15}$