6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べる。 (1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目かを求める。 (2) 300番目の数を求める。

1. 問題の内容

6個の数字1, 2, 3, 4, 5, 6を重複なく使ってできる5桁の数を小さい方から順に並べる。

(1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目かを求める。

(2) 300番目の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

30000以上の数を考える。一万の位が3, 4, 5, 6の場合を考える。

まず、一万の位が3の場合を考える。残りの4つの位には、1, 2, 4, 5, 6の数字が入る。この4つの数字の並べ方は、$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$通りある。

次に、一万の位が4, 5, 6の場合も同様に、残りの4つの位の数字の並べ方はそれぞれ120通りずつある。

したがって、30000以上の数は、$120 \times 4 = 480$通りある。

30000に最も近い数は31245である。

一万の位が1と2の数の総数は $5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通りである。

したがって、31245は、$120 + 1 = 121$番目である。

(2)

5桁の数を小さい順に並べたとき、300番目の数を求める。

一万の位が1の数は120個、一万の位が2の数も120個ある。

よって、一万の位が1か2の数は合計240個ある。

300番目の数は、一万の位が3である。

300番目の数は、一万の位が3で、60番目の数になる。

千の位が1の数は、$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個ある。

千の位が2の数も、$4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$個ある。

$24 + 24 = 48$ より、千の位が1か2の数は48個ある。

次に、千の位が4の数を考えると、$48 + 24 = 72 > 60$ となるので、千の位は4ではない。

したがって、千の位は1, 2, 4, 5, 6の小さい方から数えて3番目の数である。

したがって、千の位は4である。

$60 - 48 = 12$より、千の位が4の数の中で12番目の数を考える。

百の位が1の数は、$3 \times 2 \times 1 = 6$個ある。

百の位が2の数も、$3 \times 2 \times 1 = 6$個ある。

$6 + 6 = 12$より、百の位は2である。

残りの十の位と一の位は5と6なので、小さい順に並べると56となる。

したがって、300番目の数は34256である。

3. 最終的な答え

(1) 初めて30000以上になる数は31245であり、121番目である。

(2) 300番目の数は34256である。