1, 2, 3, 4, 5, 6 の数字を重複なく使ってできる5桁の数を小さい順に並べる。 (1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目の数かを答える。 (2) 300番目の数を求める。

1. 問題の内容

1, 2, 3, 4, 5, 6 の数字を重複なく使ってできる5桁の数を小さい順に並べる。

(1) 初めて30000以上になる数を求め、それが何番目の数かを答える。

(2) 300番目の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

5桁の数を小さい順に並べるので、まず1から始まる数を考える。

1から始まる数は $5! = 120$ 個ある。

次に2から始まる数を考える。

2から始まる数も $5! = 120$ 個ある。

したがって、3から始まる数は、

$120 + 120 + 1 = 241$ 番目から始まる。

よって、初めて30000以上になる数は30000より大きい数で一番小さい数である31245となる。

この数は241番目から始まる3から始まる数のうちの一番小さい数なので、241番目である。

(2)

1, 2から始まる5桁の数はそれぞれ $5! = 120$ 個ずつなので、

1から始まる数と2から始まる数を合わせると $120 \times 2 = 240$ 個である。

したがって、300番目の数は3から始まる数である。

3から始まる数は $5! = 120$ 個あるので、300番目の数は3から始まる数のうちの $300 - 240 = 60$ 番目の数である。

3から始まる数を小さい順に並べる場合、次の位は1, 2, 4, 5, 6 のいずれかとなる。

1で始まる数は $4! = 24$ 個

2で始まる数は $4! = 24$ 個

4で始まる数は $4! = 24$ 個

$24 + 24 = 48 < 60$ なので、求める数は4から始まる数よりも大きい。

$24 + 24 + 24 = 72 > 60$ なので、求める数は4から始まる数である。

求める数は4から始まる数の中で $60 - 48 = 12$ 番目に小さい数である。

341で始まる数は $3! = 6$ 個

342で始まる数は $3! = 6$ 個

$6 + 6 = 12$ なので、求める数は342で始まる数の中で一番大きい数である。

342651が342で始まる数の中で一番大きい数。

したがって、300番目の数は342651である。

3. 最終的な答え

(1) 初めて30000以上になる数は31245で、241番目である。

(2) 300番目の数は342651である。