与えられた問題は、実数と不等式に関する穴埋め問題です。具体的には、分数の小数表現、絶対値、根号を含む計算、分母の有理化、無理数の整数部分と小数部分を求める問題が含まれています。

1. 問題の内容

与えられた問題は、実数と不等式に関する穴埋め問題です。具体的には、分数の小数表現、絶対値、根号を含む計算、分母の有理化、無理数の整数部分と小数部分を求める問題が含まれています。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{6}$ を小数で表す：

$1 \div 6 = 0.1666...$

循環小数なので、 $0.1\dot{6}$ と表せる。問題の選択肢に $0.16$ があるので、これが答えでしょう。

(2) $|\sqrt{3}|$ を求める：

$\sqrt{3}$ は正の数なので、絶対値はそのまま $\sqrt{3}$

$|2 - \sqrt{5}|$ を求める：

$\sqrt{5}$ は 2 より大きいので、$2-\sqrt{5}$ は負の数。絶対値を取ると符号が反転するので、

$|2-\sqrt{5}| = -(2-\sqrt{5}) = -2 + \sqrt{5}$

(3) $\sqrt{6} \times \sqrt{15}$ を計算する：

$\sqrt{6} \times \sqrt{15} = \sqrt{6 \times 15} = \sqrt{2 \times 3 \times 3 \times 5} = \sqrt{2 \times 3^2 \times 5} = 3\sqrt{10}$

$\sqrt{3} - \sqrt{27}$ を計算する：

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = \sqrt{3^2 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{3} - \sqrt{27} = \sqrt{3} - 3\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2$ を計算する：

$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \times 3} = 8 + 2 \times 2\sqrt{3} = 8 + 4\sqrt{3}$

(4) $\frac{1}{3\sqrt{2}}$ の分母を有理化する：

$\frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{\sqrt{2}}{6}$

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ の分母を有理化する：

$\frac{2}{\sqrt{3} - 1} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{2} = \sqrt{3} + 1$

(5) $\sqrt{5} + 2$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求める：

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$ である。

したがって、$2 + 2 < \sqrt{5} + 2 < 3 + 2$ より $4 < \sqrt{5} + 2 < 5$

$\sqrt{5} + 2$ の整数部分は 4 なので、$a = 4$

$\sqrt{5} + 2$ の小数部分は $(\sqrt{5} + 2) - 4 = \sqrt{5} - 2$ なので、$b = \sqrt{5} - 2$

3. 最終的な答え

(1) 0.16

(2) $\sqrt{3}$, $-2 + \sqrt{5}$

(3) $3\sqrt{10}$, $-2\sqrt{3}$, $8 + 4\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{2}}{6}$, $\sqrt{3} + 1$

(5) 4, $\sqrt{5} - 2$