$\sqrt{96n}$ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{96n}$ が自然数となるような、最も小さい自然数 $n$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{96n}$ が自然数になるためには、$96n$ がある自然数の2乗になる必要がある。まず、96を素因数分解する。

$96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^5 \times 3$

よって、$\sqrt{96n} = \sqrt{2^5 \times 3 \times n}$ である。

$\sqrt{2^5 \times 3 \times n}$ が自然数になるためには、$2^5 \times 3 \times n$ がある自然数の2乗になる必要がある。そのためには、素因数分解したときの各素数の指数が偶数でなければならない。

$2^5$ の指数は5で奇数なので、少なくとも2が1つ必要。

$3^1$ の指数は1で奇数なので、少なくとも3が1つ必要。

したがって、$n = 2 \times 3 = 6$ とすれば、$2^5 \times 3 \times n = 2^5 \times 3 \times (2 \times 3) = 2^6 \times 3^2 = (2^3 \times 3)^2 = (8 \times 3)^2 = 24^2$ となり、$\sqrt{96n} = \sqrt{24^2} = 24$ となって自然数になる。

$n$ がこれより小さい自然数では $\sqrt{96n}$ は自然数にならないため、$n=6$ が求める最小の自然数である。

3. 最終的な答え

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