(4) $\sqrt{18n}$ が整数となるような正の整数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値を求めなさい。 (5) $\sqrt{18n}$ が整数となるような正の数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(4) $\sqrt{18n}$ が整数となるような正の整数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値を求めなさい。

(5) $\sqrt{18n}$ が整数となるような正の数 $n$ のうち、最も小さい $n$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(4)

$\sqrt{18n}$が整数となるためには、$18n$が整数の二乗になる必要があります。

$18$を素因数分解すると $18 = 2 \times 3^2$ です。

したがって、$\sqrt{18n} = \sqrt{2 \times 3^2 \times n}$ が整数になるためには、$n$が少なくとも $2$ を含む必要があります。

最も小さい正の整数 $n$ は $n=2$ です。

$\sqrt{18n} = \sqrt{18 \times 2} = \sqrt{36} = 6$ となり、確かに整数となります。

(5)

(4)と同様に、$18n$が整数の二乗になる必要があります。$18 = 2 \times 3^2$ です。

正の数 $n$ は整数とは限らないことに注意が必要です。

$\sqrt{18n} = \sqrt{2 \times 3^2 \times n}$ が整数になるためには、$n$ が $2$ を含む必要があります。

したがって、最も小さい正の数 $n$ は $n=2$となります。

3. 最終的な答え

(4) 2

(5) 2