1以上100以下の自然数のうち、7で割ったとき余りが6となる数の和を求める問題です。

1. 問題の内容

1以上100以下の自然数のうち、7で割ったとき余りが6となる数の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

7で割ると6余る数は、$7k+6$ (kは整数) と表すことができます。

1以上100以下という条件から、$1 \le 7k+6 \le 100$ を満たす整数$k$を求めます。

まず、$1 \le 7k+6$ より、

$7k \ge -5$

$k \ge -\frac{5}{7}$

次に、$7k+6 \le 100$ より、

$7k \le 94$

$k \le \frac{94}{7} = 13.428...$

したがって、整数$k$は$0 \le k \le 13$を満たします。

つまり、$k=0, 1, 2, ..., 13$ です。

このときの $7k+6$ の値は、以下のようになります。

$k=0$ のとき、$7(0)+6 = 6$

$k=1$ のとき、$7(1)+6 = 13$

$k=2$ のとき、$7(2)+6 = 20$

...

$k=13$ のとき、$7(13)+6 = 91+6 = 97$

これらは等差数列をなしており、初項が6、公差が7、項数が14です。

等差数列の和の公式を用いると、

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

ここで、$n=14$, $a_1=6$, $a_n=97$ なので、

$S = \frac{14}{2}(6+97) = 7(103) = 721$

3. 最終的な答え

721