$3^n$ が 8 桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

1. 問題の内容

$3^n$ が 8 桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ が与えられています。

2. 解き方の手順

ある数 $N$ が $k$ 桁の数であるとき、$10^{k-1} \le N < 10^k$ が成り立ちます。したがって、$3^n$ が 8 桁の数であるとき、次の不等式が成り立ちます。

$10^{8-1} \le 3^n < 10^8$

$10^7 \le 3^n < 10^8$

この不等式の各辺の常用対数をとります。

$\log_{10}10^7 \le \log_{10}3^n < \log_{10}10^8$

$7 \le n\log_{10}3 < 8$

$\log_{10}3 = 0.4771$ を代入します。

$7 \le 0.4771n < 8$

各辺を 0.4771 で割ります。

$\frac{7}{0.4771} \le n < \frac{8}{0.4771}$

$\frac{7}{0.4771} \approx 14.67$

$\frac{8}{0.4771} \approx 16.77$

したがって、$14.67 \le n < 16.77$ となります。$n$ は自然数であるため、$n$ は 15 または 16 です。

3. 最終的な答え

求める自然数 $n$ は 15 と 16 です。

$n = 15, 16$