3個のサイコロを同時に投げたとき、以下の確率をそれぞれ求めます。 (1) 出る目の最小値が4以上である確率 (2) 出る目の最小値が3以上5以下である確率 (3) 出る目の最小値が4である確率

1. 問題の内容

3個のサイコロを同時に投げたとき、以下の確率をそれぞれ求めます。

(1) 出る目の最小値が4以上である確率

(2) 出る目の最小値が3以上5以下である確率

(3) 出る目の最小値が4である確率

2. 解き方の手順

(1) 出る目の最小値が4以上である確率

3つのサイコロの目が全て4, 5, 6のいずれかであればよいので、各サイコロの目の出方は3通り。

したがって、目の出方は$3^3 = 27$通り。

サイコロの目の出方の総数は$6^3 = 216$通り。

求める確率は、

$P(最小値 \geq 4) = \frac{3^3}{6^3} = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}$

(2) 出る目の最小値が3以上5以下である確率

(i) 最小値が3である確率

3つのサイコロの目はすべて3以上でなければならない。これは$4^3=64$通り。

そのうち、すべての目が4,5,6である場合($3^3=27$通り)を除けばよい。さらに、すべての目が5,6である場合($2^3=8$通り)を除けばよい。また、すべての目が6である場合($1^3=1$通り)を除けばよい。

最小値が3以上である確率は$4^3/6^3=64/216$である。

最小値が4以上である確率は$3^3/6^3=27/216$である。

最小値が5以上である確率は$2^3/6^3=8/216$である。

最小値が6以上である確率は$1^3/6^3=1/216$である。

最小値が3である確率は、最小値が3以上である確率から、最小値が4以上である確率を引けば求まる。

$P(最小値=3) = (\frac{4}{6})^3 - (\frac{3}{6})^3 = \frac{64}{216} - \frac{27}{216} = \frac{37}{216}$

最小値が4である確率は、$P(最小値=4) = (\frac{3}{6})^3 - (\frac{2}{6})^3 = \frac{27}{216} - \frac{8}{216} = \frac{19}{216}$

最小値が5である確率は、$P(最小値=5) = (\frac{2}{6})^3 - (\frac{1}{6})^3 = \frac{8}{216} - \frac{1}{216} = \frac{7}{216}$

最小値が3以上5以下である確率は、それぞれの確率の和なので、

$P(3 \leq 最小値 \leq 5) = \frac{37}{216} + \frac{19}{216} + \frac{7}{216} = \frac{63}{216} = \frac{7}{24}$

(3) 出る目の最小値が4である確率

3つのサイコロの目はすべて4以上で、少なくとも１つは4である必要があります。

3つのサイコロの目がすべて4以上である確率は$\frac{3^3}{6^3} = \frac{27}{216}$

3つのサイコロの目がすべて5以上である確率は$\frac{2^3}{6^3} = \frac{8}{216}$

よって、最小値が4である確率は$\frac{27}{216} - \frac{8}{216} = \frac{19}{216}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{8}$

(2) $\frac{7}{24}$

(3) $\frac{19}{216}$