ある地域で有権者2500人を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ、支持者は625人であった。この地域のA政党の支持率$p$に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある地域で有権者2500人を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ、支持者は625人であった。この地域のA政党の支持率$p$に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算します。

$\hat{p} = \frac{625}{2500} = 0.25$

次に、信頼度95%の信頼区間を求める公式を使います。一般に、母比率$p$に対する信頼度95%の信頼区間は次の式で与えられます。

$\hat{p} - 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \leq p \leq \hat{p} + 1.96 \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$\hat{p}$は標本比率、$n$は標本サイズ、$1.96$は標準正規分布における95%信頼区間のz値です。

今回の問題では、$\hat{p} = 0.25$、 $n = 2500$ なので、これらの値を代入して計算します。

$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.25 \times (1-0.25)}{2500}} = \sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{2500}} = \sqrt{\frac{0.1875}{2500}} = \sqrt{0.000075} = 0.00866$

したがって、信頼区間の幅は、$1.96 \times 0.00866 = 0.01697$ となります。

信頼区間の下限は、$0.25 - 0.01697 = 0.23303$

信頼区間の上限は、$0.25 + 0.01697 = 0.26697$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は、$0.23303 \leq p \leq 0.26697$ となります。

これを百分率で表すと、23.303% $\leq p \leq$ 26.697%となります。