赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。このとき、以下の確率を求める問題です。 (1) 赤玉が4回以上出る確率 (2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。このとき、以下の確率を求める問題です。

(1) 赤玉が4回以上出る確率

(2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率

2. 解き方の手順

(1) 赤玉が4回以上出る確率

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$です。

これは反復試行の確率の問題であり、二項分布に従います。

赤玉が4回以上出るのは、4回出る場合と5回出る場合の2つのケースがあります。

- 赤玉が4回出る確率

${}_5 \mathrm{C}_4 (\frac{3}{5})^4 (\frac{2}{5})^1 = 5 \cdot \frac{81}{625} \cdot \frac{2}{5} = \frac{810}{3125}$

- 赤玉が5回出る確率

${}_5 \mathrm{C}_5 (\frac{3}{5})^5 (\frac{2}{5})^0 = 1 \cdot \frac{243}{3125} \cdot 1 = \frac{243}{3125}$

したがって、赤玉が4回以上出る確率は、

$\frac{810}{3125} + \frac{243}{3125} = \frac{1053}{3125}$

(2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率

5回目に2度目の赤玉が出るためには、4回目までに赤玉が1回出ていて、5回目に赤玉が出ることが必要です。

- 4回目までに赤玉が1回出る確率

${}_4 \mathrm{C}_1 (\frac{3}{5})^1 (\frac{2}{5})^3 = 4 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{125} = \frac{96}{625}$

- 5回目に赤玉が出る確率

$\frac{3}{5}$

したがって、5回目に2度目の赤玉が出る確率は、

$\frac{96}{625} \cdot \frac{3}{5} = \frac{288}{3125}$

3. 最終的な答え

(1) 赤玉が4回以上出る確率：$\frac{1053}{3125}$

(2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率：$\frac{288}{3125}$