数直線上を動く点Pが原点にある。硬貨を投げて、表が出たらPを正の方向に2だけ進め、裏が出たらPを負の方向に3だけ進める。硬貨を5回投げた後、Pが原点に戻っている確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を動く点Pが原点にある。硬貨を投げて、表が出たらPを正の方向に2だけ進め、裏が出たらPを負の方向に3だけ進める。硬貨を5回投げた後、Pが原点に戻っている確率を求める。

2. 解き方の手順

Pが原点に戻るためには、表が出た回数を $x$、裏が出た回数を $y$ とすると、以下の式が成り立つ必要があります。

$2x - 3y = 0$

また、$x + y = 5$ という条件もあります。この2つの式を解くと、

$2x - 3(5-x) = 0$

$2x - 15 + 3x = 0$

$5x = 15$

$x = 3$

よって、$y = 5 - x = 5 - 3 = 2$

したがって、表が3回、裏が2回出れば、Pは原点に戻ります。

5回硬貨を投げるうち、表が3回、裏が2回出る確率は、二項定理を用いて計算できます。

各試行は独立であるため、表が出る確率を $p = 1/2$、裏が出る確率を $q = 1/2$ とすると、

求める確率は

${}_5C_3 p^3 q^2 = {}_5C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = {}_5C_3 \left(\frac{1}{2}\right)^5$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、求める確率は

$10 \times \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{16}$