ある病気になる確率が0.1%である。この病気を調べる検査があり、病気の場合には99%の確率で陽性反応が出る。病気でない場合には98%の確率で陰性反応が出る。このとき、以下の確率を求める。 問題1：この病気にかかる確率と、この病気にかからない確率 問題2：病気にかかっていないのに、検査で陽性になる確率 問題3：検査で陽性反応が出たときに、実際に病気にかかっている確率

1. 問題の内容

ある病気になる確率が0.1%である。この病気を調べる検査があり、病気の場合には99%の確率で陽性反応が出る。病気でない場合には98%の確率で陰性反応が出る。このとき、以下の確率を求める。

問題1：この病気にかかる確率と、この病気にかからない確率

問題2：病気にかかっていないのに、検査で陽性になる確率

問題3：検査で陽性反応が出たときに、実際に病気にかかっている確率

2. 解き方の手順

問題1：

病気にかかる確率：0.1%を小数で表すと0.001

病気にかからない確率：1 - 病気にかかる確率 = 1 - 0.001 = 0.999

問題2：

病気にかかっていない確率：0.999

病気にかかっていない場合に陽性になる確率：1 - 陰性になる確率 = 1 - 0.98 = 0.02

病気にかかっていないのに陽性になる確率：病気にかかっていない確率 * 病気にかかっていない場合に陽性になる確率 = 0.999 * 0.02 = 0.01998

問題3：

ベイズの定理を用いる。

P(病気|陽性) = P(陽性|病気) * P(病気) / P(陽性)

ここで、

P(病気) = 0.001

P(陽性|病気) = 0.99

P(陽性) = P(陽性|病気) * P(病気) + P(陽性|非病気) * P(非病気)

P(非病気) = 0.999

P(陽性|非病気) = 0.02 (問題2より)

P(陽性) = 0.99 * 0.001 + 0.02 * 0.999 = 0.00099 + 0.01998 = 0.02097

P(病気|陽性) = (0.99 * 0.001) / 0.02097 = 0.00099 / 0.02097 ≒ 0.04721

3. 最終的な答え

問題1：

病気にかかる確率：0.1% = 0.001

病気にかからない確率：99.9% = 0.999

問題2：

病気にかかっていないのに、検査で陽性になる確率：0.01998 (約2.00%)

問題3：

検査で陽性反応が出たときに、実際に病気にかかっている確率：約0.04721 (約4.72%)