バスケットボール部員のフリースローの成功率が与えられている。 (1) 3回の試行で少なくとも1回成功する確率を求める。 (2) 3回の試行で1回だけ失敗する確率を求める。 (3) ○×問題が3問あり、でたらめに答えたときの点数の期待値を求める。

1. 問題の内容

バスケットボール部員のフリースローの成功率が与えられている。

(1) 3回の試行で少なくとも1回成功する確率を求める。

(2) 3回の試行で1回だけ失敗する確率を求める。

(3) ○×問題が3問あり、でたらめに答えたときの点数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 少なくとも1 回成功する確率は、すべて失敗する確率を1から引けば求められる。

1回目、2回目、3回目がそれぞれ失敗する確率は、$1-0.8=0.2$、$1-0.9=0.1$、$1-0.6=0.4$。

したがって、すべて失敗する確率は $0.2 \times 0.1 \times 0.4 = 0.008$。

少なくとも 1 回成功する確率は $1 - 0.008 = 0.992$。パーセントで表すと $99.2\%$。

(2) 1回だけ失敗する確率は、次の3つの場合に分けて考える。

- 1回目だけ失敗する場合：$0.2 \times 0.9 \times 0.6 = 0.108$

- 2回目だけ失敗する場合：$0.8 \times 0.1 \times 0.6 = 0.048$

- 3回目だけ失敗する場合：$0.8 \times 0.9 \times 0.4 = 0.288$

これらの確率を足し合わせると $0.108 + 0.048 + 0.288 = 0.444$。パーセントで表すと $44.4\%$。

(3) 3問のでたらめな回答で得られる点数の期待値を求める。

各問題で正解する確率は $\frac{1}{2}$。

各問題で不正解になる確率も $\frac{1}{2}$。

得点ごとの確率を計算する。

- 3問正解 (10点): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

- 2問正解 (5点): $_3C_2 \times (\frac{1}{2})^3 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- 1問正解 (3点): $_3C_1 \times (\frac{1}{2})^3 = 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$

- 0問正解 (0点): $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$

期待値は $10 \times \frac{1}{8} + 5 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{3}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = \frac{10 + 15 + 9 + 0}{8} = \frac{34}{8} = 4.25$

3. 最終的な答え

(1) 99.2%

(2) 44.4%

(3) 4.25 点