座標平面上の4点 A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0), D(1, 1) を頂点とする正方形がある。点 Q は正方形の頂点上を 1 秒ごとに隣の頂点へ移動する。点 Q は x 軸と平行な方向に確率 $p$ で、y 軸と平行な方向に確率 $1-p$ で移動する。最初、点 Q は頂点 A にいるとき、$n$ 秒後に頂点 A にいる確率 $a_n$ と頂点 C にいる確率 $c_n$ を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の4点 A(0, 1), B(0, 0), C(1, 0), D(1, 1) を頂点とする正方形がある。点 Q は正方形の頂点上を 1 秒ごとに隣の頂点へ移動する。点 Q は x 軸と平行な方向に確率 $p$ で、y 軸と平行な方向に確率 $1-p$ で移動する。最初、点 Q は頂点 A にいるとき、$n$ 秒後に頂点 A にいる確率 $a_n$ と頂点 C にいる確率 $c_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a_{n+1}$ と $c_{n+1}$ を $a_n, c_n$ などを用いて表す。

点 A からは、確率 $p$ で D に、確率 $1-p$ で B に移動する。

点 C からは、確率 $p$ で B に、確率 $1-p$ で D に移動する。

点 B からは、確率 $p$ で C に、確率 $1-p$ で A に移動する。

点 D からは、確率 $p$ で A に、確率 $1-p$ で C に移動する。

$b_n$ を $n$ 秒後に点 B にいる確率、$d_n$ を $n$ 秒後に点 D にいる確率とすると、

$a_{n+1} = (1-p)b_n + p d_n$

$b_{n+1} = (1-p)a_n + p c_n$

$c_{n+1} = p b_n + (1-p) d_n$

$d_{n+1} = p a_n + (1-p) c_n$

ここで、$a_n + b_n + c_n + d_n = 1$ が常に成り立つ。

また、$a_0 = 1, b_0 = c_0 = d_0 = 0$ である。

$b_n = d_n$ が常に成り立つことを数学的帰納法で示す。

$n=0$ のとき、$b_0 = d_0 = 0$ なので成り立つ。

$n=k$ のとき、$b_k = d_k$ が成り立つと仮定すると、

$b_{k+1} = (1-p)a_k + p c_k$

$d_{k+1} = p a_k + (1-p) c_k$

これらが等しくないので、この方針ではうまくいかない。

$b_n + c_n = d_n + a_n$ (1)

$b_{n+1} + c_{n+1} = (1-p)a_n + pc_n + pb_n + (1-p)d_n$

$= (1-p)a_n + pc_n + pb_n + (1-p)d_n$

$= (1-p)a_n + p c_n + p b_n + (1-p)d_n$

$a_{n+1} + d_{n+1} = (1-p)b_n + p d_n + pa_n + (1-p) c_n$

$= pa_n + (1-p)c_n + (1-p)b_n + p d_n$

$n = 0$ のとき、$b_0 + c_0 = d_0 + a_0 = 1$

$a_n + c_n + b_n + d_n = 1$より、$b_n+d_n = 1 - a_n - c_n$

$b_n = d_n$ のとき、$2 b_n = 1- a_n - c_n$, よって$b_n = \frac{1- a_n - c_n}{2}$

$a_{n+1} = (1-p)b_n + p d_n = (1-p)b_n + p b_n = b_n$

$c_{n+1} = p b_n + (1-p) d_n = p b_n + (1-p) b_n = b_n$

よって、$a_{n+1} = c_{n+1}$ なので、この方針も違う。

$a_n - c_n$ について考える。

$a_0 - c_0 = 1-0 = 1$

$a_{n+1} - c_{n+1} = (1-p)b_n + p d_n - (p b_n + (1-p) d_n) = (1-2p)(b_n - d_n)$

$a_n + c_n = x_n$ とおく。すると、$b_n + d_n = 1 - x_n$

$a_{n+1} = (1-p) b_n + p d_n$

$c_{n+1} = p b_n + (1-p) d_n$

$a_{n+1} + c_{n+1} = b_n + d_n = 1 - x_n$

$x_{n+1} = 1 - x_n$

$x_0 = a_0 + c_0 = 1$

$x_1 = 1 - x_0 = 0$

$x_2 = 1 - x_1 = 1$

$x_n = \frac{1 + (-1)^n}{2}$

$a_n - c_n = y_n$ とおく。

$y_0 = a_0 - c_0 = 1$

$a_{n+1} - c_{n+1} = (1-p) b_n + p d_n - p b_n - (1-p) d_n = (1-2p)(b_n - d_n)$

$b_n - d_n = (1-p)a_{n-1} + p c_{n-1} - p a_{n-1} - (1-p)c_{n-1}$

$= (1-2p)(a_{n-1}-c_{n-1}) = (1-2p)y_{n-1}$

$a_{n} + c_{n} = \frac{1+(-1)^n}{2}$

$a_{n} - c_{n} = (1-2p)^n$

$2 a_n = \frac{1+(-1)^n}{2} + (1-2p)^n$

$a_n = \frac{1+(-1)^n}{4} + \frac{(1-2p)^n}{2}$

$2 c_n = \frac{1+(-1)^n}{2} - (1-2p)^n$

$c_n = \frac{1+(-1)^n}{4} - \frac{(1-2p)^n}{2}$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{1+(-1)^n}{4} + \frac{(1-2p)^n}{2}$

$c_n = \frac{1+(-1)^n}{4} - \frac{(1-2p)^n}{2}$