A, B, Cの3人が的に向かって矢を1本ずつ射る。それぞれの命中率は $1/2, 1/3, 1/4$ である。このとき、AとBの2人の射た矢が的に命中して、Cの射た矢は的に命中しない確率と、3人のうち少なくとも1人の射た矢が的に命中する確率を求めよ。

1. 問題の内容

A, B, Cの3人が的に向かって矢を1本ずつ射る。それぞれの命中率は $1/2, 1/3, 1/4$ である。このとき、AとBの2人の射た矢が的に命中して、Cの射た矢は的に命中しない確率と、3人のうち少なくとも1人の射た矢が的に命中する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(カ) AとBが命中し、Cが外れる確率

Aが命中する確率は $1/2$。

Bが命中する確率は $1/3$。

Cが外れる確率は $1 - 1/4 = 3/4$。

これらは独立な事象なので、求める確率はこれらの積で求められる。

$P(\text{A命中, B命中, C外れ}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}$

(キ) 少なくとも1人が命中する確率

「少なくとも1人が命中する」の余事象は「全員外れる」である。まず、全員外れる確率を求める。

Aが外れる確率は $1 - 1/2 = 1/2$。

Bが外れる確率は $1 - 1/3 = 2/3$。

Cが外れる確率は $1 - 1/4 = 3/4$。

$P(\text{A外れ, B外れ, C外れ}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$

したがって、少なくとも1人が命中する確率は、1から全員外れる確率を引いたものになる。

$P(\text{少なくとも1人命中}) = 1 - P(\text{全員外れ}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(カ) $1/8$

(キ) $3/4$