Aが3個、Bが4個の計7個の文字を1列に並べる。Aが2個以上続いて並ぶ並べ方を求める際、提示された解答には重複して数えているものがある。重複して数えている並べ方をすべて答える。提示された解答は、Aを2個ひとまとめにしてCとし、A1個、B4個、C1個を並べるというもの。

1. 問題の内容

Aが3個、Bが4個の計7個の文字を1列に並べる。Aが2個以上続いて並ぶ並べ方を求める際、提示された解答には重複して数えているものがある。重複して数えている並べ方をすべて答える。提示された解答は、Aを2個ひとまとめにしてCとし、A1個、B4個、C1個を並べるというもの。

2. 解き方の手順

提示された解答では、AAとA, B, B, B, B を並べる並べ方を計算している。この計算方法では、AAAという並び方をAA + Aとして数える場合と、A + AAとして数える場合があり、重複が発生している。

重複して数えているのは、AAAという並びが含まれる場合である。

AAA, B, B, B, B の並べ方を考える。

まず、AAAを一つの塊として考えると、AAA, B, B, B, B の5つの要素を並べることになる。

この並べ方は $\frac{5!}{4!} = 5$ 通りである。

次に、AABをCという塊としたときを考えると、AA, A, B, B, B, B を並べることになる。このとき、AAAが連続する場合はAAとAを入れ替えることができないため重複して数えられてしまう。例えば、AAABBBAとBAAABBBは異なる並び方だが、AABをCとして計算する場合、同じものとして扱われてしまうことがある。

具体的に重複して数えるのは、AAAが連続して並んでいる場合である。

そこで、AAAをひとまとめの文字Xと考えると、XBBBBの並べ方は $\frac{5!}{4!} = 5$通り。

この5通りの並べ方は、提示された方法では2回数えられていることになる。

AAAの並びを含むものを列挙すると、以下の通りである。

1. AAABBBB

2. BAAABBB

3. BBAAABB

4. BBBAAAB

5. BBBBAAA

3. 最終的な答え

重複して数えている7文字の並べ方は、以下の5通りである。

AAABBBB

BAAABBB

BBAAABB

BBBAAAB

BBBBAAA