5人の生徒の小テストの得点$x$とその偏差の二乗$(x-\bar{x})^2$が表にまとめられている。ただし、$\bar{x}$は変量$x$の平均値である。このとき、変量$x$の平均値と分散を求める。

1. 問題の内容

5人の生徒の小テストの得点$x$とその偏差の二乗$(x-\bar{x})^2$が表にまとめられている。ただし、$\bar{x}$は変量$x$の平均値である。このとき、変量$x$の平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

まず、平均値$\bar{x}$を求める。次に、$(x-\bar{x})^2$の合計を利用して分散を求める。

表より、生徒A,B,C,D,Eの得点はそれぞれ6, 7, 4, 5, aである。また、偏差の二乗はそれぞれ1, 4, b, c, dである。

平均値の定義より、

$\bar{x} = \frac{6 + 7 + 4 + 5 + a}{5} = \frac{22 + a}{5}$

偏差の二乗の合計は、

$\sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = 1 + 4 + b + c + d$

分散の定義より、

$s^2 = \frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{5} (1 + 4 + b + c + d)$

しかし、現時点ではa, b, c, dの値が不明であるため、分散を直接計算することはできない。

平均値との関係式を考える。

$(6 - \bar{x})^2 = 1$

$(7 - \bar{x})^2 = 4$

$(4 - \bar{x})^2 = b$

$(5 - \bar{x})^2 = c$

$(a - \bar{x})^2 = d$

$(6 - \bar{x})^2 = 1$より $6 - \bar{x} = \pm 1$, よって $\bar{x} = 5$ または $\bar{x} = 7$

$(7 - \bar{x})^2 = 4$より $7 - \bar{x} = \pm 2$, よって $\bar{x} = 5$ または $\bar{x} = 9$

両方を満たすのは$\bar{x} = 5$のみ

したがって、$\bar{x} = 5$

$\bar{x} = \frac{22 + a}{5} = 5$

$22 + a = 25$

$a = 3$

b = $(4 - 5)^2 = 1$

c = $(5 - 5)^2 = 0$

d = $(3 - 5)^2 = 4$

分散 $s^2 = \frac{1}{5}(1 + 4 + 1 + 0 + 4) = \frac{10}{5} = 2$

3. 最終的な答え

平均値：5

分散：2