異なる6冊の本がある。以下の問いに答えよ。 (1) A, B, Cの3人に1冊ずつ配る配り方の総数を求めよ。 (2) A, Bの2人に3冊ずつ配る配り方の総数を求めよ。 (3) 3冊ずつの2つの組に分ける分け方の総数を求めよ。 (4) 1人が何冊でも好きなだけ選ぶ選び方の総数を求めよ。ただし、1冊も選ばなくてもよいとする。 (5) 1人が何冊でも好きなだけ選ぶ選び方の総数を求めよ。ただし、最低でも2冊は選ぶものとする。

1. 問題の内容

異なる6冊の本がある。以下の問いに答えよ。

(1) A, B, Cの3人に1冊ずつ配る配り方の総数を求めよ。

(2) A, Bの2人に3冊ずつ配る配り方の総数を求めよ。

(3) 3冊ずつの2つの組に分ける分け方の総数を求めよ。

(4) 1人が何冊でも好きなだけ選ぶ選び方の総数を求めよ。ただし、1冊も選ばなくてもよいとする。

(5) 1人が何冊でも好きなだけ選ぶ選び方の総数を求めよ。ただし、最低でも2冊は選ぶものとする。

2. 解き方の手順

(1) 6冊から3冊を選び、A, B, Cに配る順序を考える。

まず、6冊から3冊を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りである。

次に、選んだ3冊をA, B, Cに配る順序は $3!$ 通りである。

したがって、配り方の総数は $_6C_3 \times 3!$ で求められる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$

$_6C_3 \times 3! = 20 \times 6 = 120$

(2) Aに配る3冊を選び、残りの3冊をBに配る。

まず、6冊からAに配る3冊を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りである。

残りの3冊は自動的にBに配られるので、組み合わせを考える必要はない。

したがって、配り方の総数は $_6C_3$ で求められる。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(3) 6冊を3冊ずつの2つの組に分ける。

まず、6冊から一方の組に入れる3冊を選ぶ組み合わせは $_6C_3$ 通りである。

残りの3冊は自動的にもう一方の組に入る。

ただし、2つの組に区別はないので、2つの組の選び方が重複して数えられている。そのため、$_6C_3$ を2で割る必要がある。

したがって、分け方の総数は $\frac{_6C_3}{2}$ で求められる。

$\frac{_6C_3}{2} = \frac{20}{2} = 10$

(4) 各本について選ぶか選ばないかの2通りがある。したがって、選び方は $2^6$ 通りである。

ただし、1冊も選ばない場合も含むので、これは問題文の条件を満たしている。

したがって、選び方の総数は $2^6$ で求められる。

$2^6 = 64$

(5) 1冊も選ばない場合と、1冊だけ選ぶ場合を除いて考える。

(4)より、すべての選び方は $2^6 = 64$ 通りである。

1冊も選ばない場合は1通りである。

1冊だけ選ぶ場合は6通りである。

したがって、求める選び方の総数は $2^6 - 1 - 6$ で求められる。

$2^6 - 1 - 6 = 64 - 1 - 6 = 57$

3. 最終的な答え

(1) 120通り

(2) 20通り

(3) 10通り

(4) 64通り

(5) 57通り