与えられた画像に書かれた複数の確率・組合せの問題を解きます。具体的には、次の問題です。 (1) 7人（男子3人、女子4人）から3人を選ぶ場合の数を求める。 ① 男女の区別をしない場合。 ② 男子2人、女子1人を選ぶ場合。 ③ 男子1人、女子2人を選ぶ場合。 ④ 特定の1人を必ず選ぶ場合。 (2) 赤玉4個、白玉5個の計9個が入った袋から2個を選ぶ場合の数を求める。 ① 赤玉と白玉の区別をしない場合。 ② 白玉2個を選ぶ場合。 ③ 赤玉2個を選ぶ場合。 ④ 赤玉と白玉を1個ずつ選ぶ場合。 (3) 長方形の縦と横の辺にそれぞれ平行な線が引いてある図において、長方形の総数を求める。 (4) 道路の図において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求める。 ① 全部の経路数 ② C地点を通る経路数 (5) 正八角形に関する問題 ① 3つの頂点を結んで出来る三角形の数 ② 4つの頂点を結んで出来る四角形の数 (6) 円周上の異なる5点がある。これらの点を頂点とする三角形と四角形は、それぞれいくつ作れるか。

1. 問題の内容

与えられた画像に書かれた複数の確率・組合せの問題を解きます。具体的には、次の問題です。

(1) 7人（男子3人、女子4人）から3人を選ぶ場合の数を求める。

① 男女の区別をしない場合。

② 男子2人、女子1人を選ぶ場合。

③ 男子1人、女子2人を選ぶ場合。

④ 特定の1人を必ず選ぶ場合。

(2) 赤玉4個、白玉5個の計9個が入った袋から2個を選ぶ場合の数を求める。

① 赤玉と白玉の区別をしない場合。

② 白玉2個を選ぶ場合。

③ 赤玉2個を選ぶ場合。

④ 赤玉と白玉を1個ずつ選ぶ場合。

(3) 長方形の縦と横の辺にそれぞれ平行な線が引いてある図において、長方形の総数を求める。

(4) 道路の図において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求める。

① 全部の経路数

② C地点を通る経路数

(5) 正八角形に関する問題

① 3つの頂点を結んで出来る三角形の数

② 4つの頂点を結んで出来る四角形の数

(6) 円周上の異なる5点がある。これらの点を頂点とする三角形と四角形は、それぞれいくつ作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 7人から3人を選ぶ場合の数

① 男女の区別をしない場合：

$_{7}C_{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り

② 男子2人、女子1人を選ぶ場合：

男子3人から2人を選ぶ場合の数と、女子4人から1人を選ぶ場合の数の積。

$_{3}C_{2} \times _{4}C_{1} = \frac{3!}{2!1!} \times \frac{4!}{1!3!} = 3 \times 4 = 12$ 通り

③ 男子1人、女子2人を選ぶ場合：

男子3人から1人を選ぶ場合の数と、女子4人から2人を選ぶ場合の数の積。

$_{3}C_{1} \times _{4}C_{2} = \frac{3!}{1!2!} \times \frac{4!}{2!2!} = 3 \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 3 \times 6 = 18$ 通り

④ 特定の1人を必ず選ぶ場合：

7人から特定の一人を除いた6人から残りの2人を選ぶ。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り

(2) 赤玉4個、白玉5個の計9個から2個を選ぶ場合の数

① 赤玉と白玉の区別をしない場合：

$_{9}C_{2} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り

② 白玉2個を選ぶ場合：

$_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

③ 赤玉2個を選ぶ場合：

$_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り

④ 赤玉と白玉を1個ずつ選ぶ場合：

$_{4}C_{1} \times _{5}C_{1} = 4 \times 5 = 20$ 通り

(3) 長方形の数：

縦線と横線からそれぞれ2本ずつ選ぶと長方形が一つ決まる。

縦線4本から2本選ぶ方法は $_{4}C_{2} = 6$通り。

横線6本から2本選ぶ方法は $_{6}C_{2} = 15$通り。

したがって長方形の数は $6 \times 15 = 90$ 個。

(4) A地点からB地点への最短経路

① 全部の経路数：

右に6回、上に3回移動する必要がある。合計9回の移動のうち、右に6回選ぶ場合の数。

$\frac{9!}{6!3!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り

② C地点を通る経路数：

AからCまでの経路数と、CからBまでの経路数の積。

AからCは右に2回、上に1回移動。 $\frac{3!}{2!1!} = 3$通り

CからBは右に4回、上に2回移動。 $\frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り

$3 \times 15 = 45$通り

(5) 正八角形

① 3つの頂点を結んで出来る三角形の数

$_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

② 4つの頂点を結んで出来る四角形の数

$_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

(6) 円周上の5点

① 3つの頂点を結んで出来る三角形の数

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

② 4つの頂点を結んで出来る四角形の数

$_{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$

3. 最終的な答え

(1)

① 35通り

② 12通り

③ 18通り

④ 15通り

(2)

① 36通り

② 10通り

③ 6通り

④ 20通り

(3) 90個

(4)

① 84通り

② 45通り

(5)

① 56

② 70

(6)

三角形：10

四角形：5