1つのサイコロを4回振ったとき、出た目のうちの最大値をXとします。 (1) 確率 $P(X \le 4)$ を求めます。 (2) 確率 $P(X = 4)$ を求めます。

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回振ったとき、出た目のうちの最大値をXとします。

(1) 確率 $P(X \le 4)$ を求めます。

(2) 確率 $P(X = 4)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $X \le 4$ とは、4回の試行すべてで出た目が4以下であるということです。1回の試行で4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。4回の試行は独立なので、

$P(X \le 4) = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$

(2) $X = 4$ とは、4回の試行で少なくとも1回は4が出て、かつすべての試行で出た目が4以下であるということです。これは、$X \le 4$ と $X \le 3$ の確率の差として計算できます。$X \le 3$ とは、4回の試行すべてで出た目が3以下であるということです。1回の試行で3以下の目が出る確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ です。4回の試行は独立なので、

$P(X \le 3) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$

よって、

$P(X=4) = P(X \le 4) - P(X \le 3) = \frac{16}{81} - \frac{1}{16} = \frac{256 - 81}{1296} = \frac{175}{1296}$

3. 最終的な答え

(1) $P(X \le 4) = \frac{16}{81}$

(2) $P(X = 4) = \frac{175}{1296}$