赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。 (1) 赤玉が4回以上出る確率を求める。 (2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉6個、白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てから元に戻すという試行を5回行う。

(1) 赤玉が4回以上出る確率を求める。

(2) 5回目に2度目の赤玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

赤玉が出る確率は $\frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$、白玉が出る確率は $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$である。

5回の試行で赤玉が4回以上出る確率を求める。

これは二項分布に従う。

赤玉が4回出る確率は、

$P(X=4) = \binom{5}{4} (\frac{3}{5})^4 (\frac{2}{5})^1 = 5 \times \frac{81}{625} \times \frac{2}{5} = \frac{810}{3125}$

赤玉が5回出る確率は、

$P(X=5) = \binom{5}{5} (\frac{3}{5})^5 (\frac{2}{5})^0 = 1 \times \frac{243}{3125} \times 1 = \frac{243}{3125}$

したがって、赤玉が4回以上出る確率は、

$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{810}{3125} + \frac{243}{3125} = \frac{1053}{3125}$

(2)

5回目に2度目の赤玉が出るということは、1回目から4回目までの間に赤玉が1回だけ出て、5回目に赤玉が出れば良い。

1回目から4回目までの間に赤玉が1回だけ出る確率は、

$\binom{4}{1} (\frac{3}{5})^1 (\frac{2}{5})^3 = 4 \times \frac{3}{5} \times \frac{8}{125} = \frac{96}{625}$

5回目に赤玉が出る確率は $\frac{3}{5}$。

したがって、求める確率は、

$\frac{96}{625} \times \frac{3}{5} = \frac{288}{3125}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1053}{3125}$

(2) $\frac{288}{3125}$