組み合わせの計算です。$\frac{3}{2} C_1$ を計算します。

1. 問題の内容

組み合わせの計算です。$\frac{3}{2} C_1$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、組み合わせの定義を思い出します。$n$ 個から $k$ 個を選ぶ組み合わせの数は、

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表します。

この問題では、$n = \frac{3}{2}$ であり、$k = 1$ です。したがって、

$C\left(\frac{3}{2}, 1\right) = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)!}{1!\left(\frac{3}{2}-1\right)!} = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)!}{\left(\frac{1}{2}\right)!}$

ここで、ガンマ関数を使って階乗を定義すると、$n! = \Gamma(n+1)$ です。

したがって、$\left(\frac{3}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{3}{2} + 1\right) = \Gamma\left(\frac{5}{2}\right)$ および $\left(\frac{1}{2}\right)! = \Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right) = \Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ となります。

ガンマ関数の性質 $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ を使うと、

$\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)$ となります。

したがって、

$C\left(\frac{3}{2}, 1\right) = \frac{\frac{3}{2}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$