いくつかの確率の問題と期待値の問題があります。 * **最初の問題:** 信号Pを青で通過できる確率が60%、信号Qを青で通過できる確率が40%であるとき、(1) 信号PとQの両方通過できない確率と、(2) 1つの信号だけ通過できる確率を求めます。 * **2番目の問題:** くじの賞金と本数が与えられたとき、このくじを1本引いたときの賞金の期待値を求めます。 * **3番目の問題:** あるバスケット部員のフリースローの成功確率が与えられたとき、(1) 3回中少なくとも1回成功する確率と、(2) 3回中1回だけ失敗する確率を求めます。 * **4番目の問題:** ○×で答える3つの問題にでたらめに答えた時の点数の期待値を求めます。 * **5番目の問題:** ある企業の株価の変動確率が与えられたとき、(1) 2ヶ月続けて上昇する確率と、(2) 3ヶ月間でちょうど2回だけ上昇する確率を求めます。 * **6番目の問題:** AとBが2回じゃんけんをするとき、Aが1回だけ勝つ確率を求めます。

1. 問題の内容

いくつかの確率の問題と期待値の問題があります。

* **最初の問題:** 信号Pを青で通過できる確率が60%、信号Qを青で通過できる確率が40%であるとき、(1) 信号PとQの両方通過できない確率と、(2) 1つの信号だけ通過できる確率を求めます。

* **2番目の問題:** くじの賞金と本数が与えられたとき、このくじを1本引いたときの賞金の期待値を求めます。

* **3番目の問題:** あるバスケット部員のフリースローの成功確率が与えられたとき、(1) 3回中少なくとも1回成功する確率と、(2) 3回中1回だけ失敗する確率を求めます。

* **4番目の問題:** ○×で答える3つの問題にでたらめに答えた時の点数の期待値を求めます。

* **5番目の問題:** ある企業の株価の変動確率が与えられたとき、(1) 2ヶ月続けて上昇する確率と、(2) 3ヶ月間でちょうど2回だけ上昇する確率を求めます。

* **6番目の問題:** AとBが2回じゃんけんをするとき、Aが1回だけ勝つ確率を求めます。

2. 解き方の手順

* **最初の問題:**

* (1) 信号PとQの両方通過できない確率は、Pを通過できない確率とQを通過できない確率を掛け合わせたものです。Pを通過できない確率は $100\% - 60\% = 40\%$ で、Qを通過できない確率は $100\% - 40\% = 60\%$ です。したがって、両方通過できない確率は $40\% \times 60\% = 24\%$ です。

* (2) 1つの信号だけ通過できる確率は、Pだけ通過できる確率とQだけ通過できる確率を足し合わせたものです。Pだけ通過できる確率は $60\% \times (100\% - 40\%) = 60\% \times 60\% = 36\%$ です。Qだけ通過できる確率は $(100\% - 60\%) \times 40\% = 40\% \times 40\% = 16\%$ です。したがって、1つの信号だけ通過できる確率は $36\% + 16\% = 52\%$ です。

* **2番目の問題:**

* 期待値は、各賞金にその賞金が得られる確率を掛け合わせたものの合計です。各賞金の確率は、その賞金の本数を総本数で割ったものです。したがって、期待値は以下のようになります。

$E = \frac{70}{100} \times 100 + \frac{20}{100} \times 500 + \frac{10}{100} \times 1000 = 70 + 100 + 100 = 270$

* **3番目の問題:**

* (1) 少なくとも1回成功する確率は、1から3回とも失敗する確率を引いたものです。3回とも失敗する確率は $(100\% - 80\%) \times (100\% - 90\%) \times (100\% - 60\%) = 20\% \times 10\% \times 40\% = 0.2 \times 0.1 \times 0.4 = 0.008 = 0.8\%$ です。したがって、少なくとも1回成功する確率は $100\% - 0.8\% = 99.2\%$ です。

* (2) 1回だけ失敗する確率は、以下の3つの場合の確率を足し合わせたものです。1回目だけ失敗する場合、2回目だけ失敗する場合、3回目だけ失敗する場合。

* 1回目だけ失敗する確率: $(100\% - 80\%) \times 90\% \times 60\% = 0.2 \times 0.9 \times 0.6 = 0.108 = 10.8\%$

* 2回目だけ失敗する確率: $80\% \times (100\% - 90\%) \times 60\% = 0.8 \times 0.1 \times 0.6 = 0.048 = 4.8\%$

* 3回目だけ失敗する確率: $80\% \times 90\% \times (100\% - 60\%) = 0.8 \times 0.9 \times 0.4 = 0.288 = 28.8\%$

したがって、1回だけ失敗する確率は $10.8\% + 4.8\% + 28.8\% = 44.4\%$ です。

* **4番目の問題:**

* 3問の問題に○×で答える場合、答え方は $2^3 = 8$ 通りあります。でたらめに答える場合、それぞれの答え方になる確率は $\frac{1}{8}$ です。それぞれの点数は次の通りです。

* 3問正解: 10点 (確率: $\frac{1}{8}$)

* 2問正解: 5点 (確率: $\frac{3}{8}$)

* 1問正解: 3点 (確率: $\frac{3}{8}$)

* 0問正解: 0点 (確率: $\frac{1}{8}$)

したがって、期待値は $\frac{1}{8} \times 10 + \frac{3}{8} \times 5 + \frac{3}{8} \times 3 + \frac{1}{8} \times 0 = \frac{10 + 15 + 9 + 0}{8} = \frac{34}{8} = 4.25$ 点です。

* **5番目の問題:**

* (1) 2ヶ月続けて上昇する確率は $60\% \times 60\% = 36\%$ です。

* (2) 3ヶ月間でちょうど2回だけ上昇する確率は、以下の3つの場合の確率を足し合わせたものです。

* 上昇, 上昇, その他: $60\% \times 60\% \times (10\% + 30\%) = 0.6 \times 0.6 \times 0.4 = 0.144 = 14.4\%$

* 上昇, その他, 上昇: $60\% \times (10\% + 30\%) \times 60\% = 0.6 \times 0.4 \times 0.6 = 0.144 = 14.4\%$

* その他, 上昇, 上昇: $(10\% + 30\%) \times 60\% \times 60\% = 0.4 \times 0.6 \times 0.6 = 0.144 = 14.4\%$

したがって、3ヶ月間でちょうど2回だけ上昇する確率は $14.4\% + 14.4\% + 14.4\% = 43.2\%$ です。

* **6番目の問題:**

* Aが1回だけ勝つ場合を考えます。まず、1回目のじゃんけんでAが勝つ確率は $\frac{1}{3}$です。このとき、2回目のじゃんけんでAが負けるかあいこになる必要があります。負ける確率は$\frac{1}{3}$、あいこになる確率は$\frac{1}{3}$なので、2回目にAが負けるかあいこになる確率は$\frac{2}{3}$です。よって、Aが1回目に勝ち、2回目に負けるかあいこになる確率は$\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$です。

* 次に、1回目のじゃんけんでAが負けるかあいこになり、2回目のじゃんけんでAが勝つ場合を考えます。1回目にAが負けるかあいこになる確率は$\frac{2}{3}$で、2回目にAが勝つ確率は$\frac{1}{3}$なので、確率は$\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$です。

* したがって、Aが1回だけ勝つ確率は、$\frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$です。

3. 最終的な答え

* 最初の問題: (1) 24 % (2) 52 %

* 2番目の問題: 270 円

* 3番目の問題: (1) 99.2 % (2) 44.4 %

* 4番目の問題: 4.25 点

* 5番目の問題: (1) 36 % (2) 43.2 %

* 6番目の問題: 4/9