袋の中に白玉1個と赤玉2個が入っている。この袋から1個の玉を取り出して元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。$k$ 回目に白玉が出れば $a_k = 1$, 赤玉が出れば $a_k = 2$ とする。和 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ を $S_n$ とおき、$S_n$ が偶数となる確率を $p_n$ とする。 (1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。 (2) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。 (3) $p_n$ を $n$ を用いて表せ。 (4) $\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に白玉1個と赤玉2個が入っている。この袋から1個の玉を取り出して元に戻す操作を $n$ 回繰り返す。$k$ 回目に白玉が出れば $a_k = 1$, 赤玉が出れば $a_k = 2$ とする。和 $a_1 + a_2 + \dots + a_n$ を $S_n$ とおき、$S_n$ が偶数となる確率を $p_n$ とする。

(1) $p_1, p_2, p_3$ を求めよ。

(2) $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表せ。

(3) $p_n$ を $n$ を用いて表せ。

(4) $\lim_{n \to \infty} p_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$p_1$ を求める。$S_1 = a_1$ が偶数となるのは、赤玉が出た場合である。したがって、$p_1 = \frac{2}{3}$.

$p_2$ を求める。$S_2 = a_1 + a_2$ が偶数となるのは、(白, 白) または (赤, 赤) の場合である。

(白, 白) の確率は $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$。

(赤, 赤) の確率は $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$。

したがって、$p_2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$.

$p_3$ を求める。$S_3 = a_1 + a_2 + a_3$ が偶数となるのは、

(白, 白, 偶数) or (白, 赤, 奇数) or (赤, 白, 奇数) or (赤, 赤, 偶数)

$p_3$ を求める別の方法として、まず$S_2$が偶数の場合、$a_3$が偶数であれば、$S_3$は偶数となり、$S_2$が奇数の場合、$a_3$が奇数であれば、$S_3$は偶数となることを利用する。

$p_3 = p_2 \cdot \frac{2}{3} + (1-p_2) \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{3} + \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{10}{27} + \frac{4}{27} = \frac{14}{27}$.

(2)

$S_{n+1} = S_n + a_{n+1}$ が偶数となるのは、$S_n$ が偶数のとき $a_{n+1}$ が偶数であるか、$S_n$ が奇数のとき $a_{n+1}$ が奇数であるかのいずれかである。

したがって、

$p_{n+1} = p_n \cdot \frac{2}{3} + (1 - p_n) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} p_n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} p_n = \frac{1}{3} p_n + \frac{1}{3}$.

$p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}$.

(3)

$p_{n+1} - \frac{1}{2} = \frac{1}{3}(p_n - \frac{1}{2})$

数列 $\{p_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $p_1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列である。

したがって、$p_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1}$.

$p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$.

(4)

$\lim_{n \to \infty} p_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{2}{3}, p_2 = \frac{5}{9}, p_3 = \frac{14}{27}$

(2) $p_{n+1} = \frac{1}{3}p_n + \frac{1}{3}$

(3) $p_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n$

(4) $\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{2}$