10人を次の方法で組分けする場合の数を求めます。 (1) 10人を2人ずつの5組に分け、各組にA, B, C, D, Eの名前を付ける。 (2) 10人を2人ずつの5組に分ける。

1. 問題の内容

10人を次の方法で組分けする場合の数を求めます。

(1) 10人を2人ずつの5組に分け、各組にA, B, C, D, Eの名前を付ける。

(2) 10人を2人ずつの5組に分ける。

2. 解き方の手順

(1)

まず、10人から2人を選びA組とする。残りの8人から2人を選びB組とする。同様にC, D, E組を選んでいく。

A組の選び方は ${}_{10}C_2$ 通り。

B組の選び方は ${}_8C_2$ 通り。

C組の選び方は ${}_6C_2$ 通り。

D組の選び方は ${}_4C_2$ 通り。

E組の選び方は ${}_2C_2$ 通り。

したがって、全部で

${}_{10}C_2 \times {}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \times \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} \times \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \times \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \times \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 45 \times 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 113400$ 通り。

(2)

(1)で求めた数は、各組にA, B, C, D, Eの名前が付いている場合の数です。名前を区別しない場合は、5!で割る必要があります。

したがって、

$\frac{{}_{10}C_2 \times {}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{5!} = \frac{113400}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{113400}{120} = 945$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 113400通り

(2) 945通り