問題３：5種類の数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して5個使って5桁の数を作る。(1)5桁の数は何個あるか。(2)偶数は何個あるか。 問題４：次の値を求めよ。(1) $ {}_6C_3 $ (2) $ {}_8C_2 $

1. 問題の内容

問題３：5種類の数字0, 1, 2, 3, 4から重複を許して5個使って5桁の数を作る。(1)5桁の数は何個あるか。(2)偶数は何個あるか。

問題４：次の値を求めよ。(1) ${}_6C_3$ (2) ${}_8C_2$

2. 解き方の手順

問題３：

(1) 5桁の数の個数を求める。

5桁の数なので、一番左の桁は0以外である必要がある。したがって、一番左の桁は1, 2, 3, 4のいずれかであるから、4通りの選び方がある。残りの4桁は、0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選び方がある。

したがって、5桁の数の個数は

$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$

(2) 偶数の個数を求める。

5桁の偶数なので、一の位は0, 2, 4のいずれかである必要がある。

場合１：一の位が0の場合

一番左の桁は0以外である必要があるため、1, 2, 3, 4のいずれかであるから、4通りの選び方がある。残りの3桁は、0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選び方がある。したがって、$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 1 = 4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$

場合２：一の位が2または4の場合

一の位の選び方は2通り。一番左の桁は0以外である必要がある。

(i)一番左の桁が2または4の場合。

このとき、一番左の桁の選び方は1通り。

残りの3桁は、0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選び方がある。したがって、$1 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2 = 2 \times 5^3 = 2 \times 125 = 250$

(ii)一番左の桁が1または3の場合。

このとき、一番左の桁の選び方は2通り。

残りの3桁は、0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選び方がある。したがって、$2 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2 = 4 \times 5^3 = 4 \times 125 = 500$

したがって、この場合の数は$250+500=750$

よって、$500 + 750 = 1250$

問題４：

(1) ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) ${}_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

3. 最終的な答え

問題３：

(1) 2500個

(2) 1250個

問題４：

(1) 20

(2) 28