1個のサイコロを3回投げて出る目を順に $a, b, c$ とします。 (1) $a < b < c$ となる場合の数を求めます。 (2) $a \leq b \leq c$ となる場合の数を求めます。

## 問題24

1. 問題の内容

1個のサイコロを3回投げて出る目を順に $a, b, c$ とします。

(1) $a < b < c$ となる場合の数を求めます。

(2) $a \leq b \leq c$ となる場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a < b < c$ の場合

$a, b, c$ は全て異なるので、1から6までの6個の数字から3個を選ぶ組み合わせの数を求めれば良いです。

これは組み合わせの公式を用いて計算できます。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) $a \leq b \leq c$ の場合

これは重複組み合わせの問題です。

1から6までの数字から重複を許して3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。

これは、6個のものから3個選ぶ重複組み合わせ $_{6}H_{3}$ で表されます。

$_{6}H_{3} = _{6+3-1}C_{3} = _{8}C_{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

3. 最終的な答え

(1) $a < b < c$ の場合の数: 20通り

(2) $a \leq b \leq c$ の場合の数: 56通り

## 問題25

1. 問題の内容

"MEDICINE" の8文字全てを1列に並べます。

(1) 必ずMの右側にDがある並べ方は何通りあるかを求めます。 (MとDの間に他の文字が入っても良い)

(2) EとIが必ず偶数番目にある並べ方は何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

(1) Mの右側にDがある場合

まず、MとDをひとまとめにして考えます。MとDの並び方はMDの1通りです。

残り6文字とMDのセットを並べるので、合計7つのものを並べます。

これは7!通りです。

しかし、Eが2つあるので、重複を避けるために2!で割る必要があります。

よって、$\frac{7!}{2!} = \frac{5040}{2} = 2520$ 通りです。

(2) EとIが必ず偶数番目にある場合

"MEDICINE"の8文字のうち、偶数番目は4つあります。

EとIをこの4つの偶数番目のうちから2つ選んで並べます。これは $_{4}P_{2} = 4 \times 3 = 12$ 通りです。

残りの6文字を、残りの6つの場所（奇数番目4つと偶数番目2つ）に並べます。

このとき、Eが2つあるため、$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$ 通りです。

したがって、全体の並べ方は $12 \times 360 = 4320$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) Mの右側にDがある場合の数: 2520通り

(2) EとIが必ず偶数番目にある場合の数: 4320通り