1個のサイコロを360回投げたとき、6の目が出る回数をXとする。Xが以下の範囲の値を取る確率を、標準正規分布N(0, 1)で近似する方法で求めよ。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とする。 (1) $50 \le X \le 60$ (2) $X \ge 65$ (3) $|\frac{X}{360} - \frac{1}{6}| \le 0.05$

1. 問題の内容

1個のサイコロを360回投げたとき、6の目が出る回数をXとする。Xが以下の範囲の値を取る確率を、標準正規分布N(0, 1)で近似する方法で求めよ。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とする。

(1) $50 \le X \le 60$

(2) $X \ge 65$

(3) $|\frac{X}{360} - \frac{1}{6}| \le 0.05$

2. 解き方の手順

まず、Xは二項分布B(360, 1/6)に従う。その期待値mと標準偏差$\sigma$は以下のように計算される。

$m = 360 \times \frac{1}{6} = 60$

$\sigma = \sqrt{360 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$

標準化変数Zを $Z = \frac{X - 60}{5\sqrt{2}}$ とすると、Zは近似的に標準正規分布N(0, 1)に従う。

(1) $50 \le X \le 60$ のとき、

$X = 50$ のとき、 $Z = \frac{50 - 60}{5\sqrt{2}} = \frac{-10}{5\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \approx -1.41$

$X = 60$ のとき、 $Z = \frac{60 - 60}{5\sqrt{2}} = 0$

よって、$P(50 \le X \le 60) = P(-1.41 \le Z \le 0) = P(0 \le Z \le 1.41) \approx 0.4207$

(2) $X \ge 65$ のとき、

$X = 65$ のとき、$Z = \frac{65 - 60}{5\sqrt{2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1.41}{2} \approx 0.71$

よって、$P(X \ge 65) = P(Z \ge 0.71) = 0.5 - P(0 \le Z \le 0.71) = 0.5 - 0.2611 = 0.2389$

(3) $|\frac{X}{360} - \frac{1}{6}| \le 0.05$

$|\frac{X}{360} - \frac{60}{360}| \le 0.05$

$|\frac{X - 60}{360}| \le 0.05$

$|X - 60| \le 360 \times 0.05 = 18$

$|Z| = |\frac{X - 60}{5\sqrt{2}}| \le \frac{18}{5\sqrt{2}}$

ここで、$\frac{18}{5\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{5 \times 2} = \frac{9\sqrt{2}}{5} = \frac{9}{5} \times 1.41 \approx 2.538 \approx 2.54$

よって、$P(|\frac{X}{360} - \frac{1}{6}| \le 0.05) = P(|Z| \le 2.54) = 2P(0 \le Z \le 2.54) = 2 \times 0.4945 = 0.9890$

3. 最終的な答え

(1) 0.4207

(2) 0.2389

(3) 0.9890