ある工場で製造された製品から無作為に800個抽出したところ、不良品が32個あった。この工場の製品全体の不良品の割合 $p$ に対する、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある工場で製造された製品から無作為に800個抽出したところ、不良品が32個あった。この工場の製品全体の不良品の割合 $p$ に対する、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

信頼区間を求めるための手順は以下の通りです。

* **標本比率の計算:** まず、標本から得られた不良品の比率 $\hat{p}$ を計算します。これは、不良品の個数を標本サイズで割ることで求められます。

$\hat{p} = \frac{32}{800} = 0.04$

* **標準誤差の計算:** 次に、標本比率の標準誤差を計算します。標準誤差は、標本比率のばらつきを表す指標です。

$\sigma = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.04(1-0.04)}{800}} = \sqrt{\frac{0.04 \times 0.96}{800}} = \sqrt{0.000048} = 0.006928$

* **信頼区間の計算:** 信頼度95%の信頼区間を求めます。信頼度95%の場合、z値は1.96を使用します。信頼区間は、以下の式で計算できます。

$(\hat{p} - z \sigma, \hat{p} + z \sigma)$

信頼区間の下限： $0.04 - 1.96 \times 0.006928 = 0.04 - 0.013579 = 0.026421$

信頼区間の上限： $0.04 + 1.96 \times 0.006928 = 0.04 + 0.013579 = 0.053579$

3. 最終的な答え

したがって、不良品の割合 $p$ に対する信頼度95%の信頼区間は、(0.0264, 0.0536) となります。（小数点以下4桁で表示)

または、(2.64%, 5.36%) と表現できます。