箱の中に赤玉、青玉、黄玉が1個ずつ入っている。箱から玉を1個取り出し、色を確認後、箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉の色の種類数をXとする。 (1) 赤玉を3回取り出す確率と、X=1となる確率を求めよ。 (2) X=2となる確率と、Xの期待値を求めよ。

1. 問題の内容

箱の中に赤玉、青玉、黄玉が1個ずつ入っている。箱から玉を1個取り出し、色を確認後、箱に戻す操作を3回繰り返す。取り出した玉の色の種類数をXとする。

(1) 赤玉を3回取り出す確率と、X=1となる確率を求めよ。

(2) X=2となる確率と、Xの期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

赤玉を3回取り出す確率は、各回の試行で赤玉を取り出す確率が $1/3$ であるため、

$P(\text{赤玉3回}) = (1/3) \times (1/3) \times (1/3) = 1/27$

X=1となるのは、3回とも同じ色の玉を取り出す場合である。赤玉、青玉、黄玉のいずれかであるため、

$P(X=1) = P(\text{赤玉3回}) + P(\text{青玉3回}) + P(\text{黄玉3回}) = (1/27) + (1/27) + (1/27) = 3/27 = 1/9$

(2)

X=2となるのは、3回の試行で2種類の色の玉を取り出す場合である。

まず、どの2色を選ぶかを考える。これは3色から2色を選ぶ組み合わせなので、 $_3C_2 = 3$ 通り。

選んだ2色をA, Bとする。3回の試行でAとBの両方を取り出す場合、全てAまたは全てBの場合は除く必要がある。

A, Bを取り出す組み合わせは $2^3 = 8$通り。そのうち、全てA, 全てBの2通りを除くと、6通りとなる。

よって、X=2となる確率は、 $_3C_2 \times (6/27) = 3 \times (2/9) = 6/9 = 2/3$

Xの期待値は、Xが取りうる値とその確率を掛け合わせて足し合わせたものである。

Xは1, 2, 3のいずれかの値を取る。

$P(X=1) = 1/9$ (上記で計算済み)

$P(X=2) = 2/3$ (上記で計算済み)

$P(X=3) = 1 - P(X=1) - P(X=2) = 1 - (1/9) - (6/9) = 2/9$

期待値 $E(X) = 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) = 1 \times (1/9) + 2 \times (6/9) + 3 \times (2/9) = (1 + 12 + 6)/9 = 19/9$

3. 最終的な答え

(1) 赤玉を3回取り出す確率は $1/27$。X=1となる確率は $1/9$。

(2) X=2となる確率は $2/3$。Xの期待値は $19/9$。