問題44は、与えられた式を計算する問題です。 問題45は、与えられた式の分母を有理化する問題です。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題のうち、44の(1)から(6)と45の(1)から(8)を解いて説明します。

1. 問題の内容

問題44は、与えられた式を計算する問題です。

問題45は、与えられた式の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

問題44

(1) $4\sqrt{3} \times 5\sqrt{7}$

係数と根号の中身をそれぞれ計算します。

$4 \times 5 \times \sqrt{3} \times \sqrt{7} = 20\sqrt{21}$

(2) $\sqrt{2} \times \sqrt{6} \times \sqrt{18}$

根号の中身をまとめて計算します。

$\sqrt{2 \times 6 \times 18} = \sqrt{216} = \sqrt{36 \times 6} = 6\sqrt{6}$

(3) $(3\sqrt{5} + 2\sqrt{3})(4\sqrt{5} - \sqrt{3})$

分配法則を用いて展開します。

$3\sqrt{5} \times 4\sqrt{5} - 3\sqrt{5} \times \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} - 2\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

$= 12 \times 5 - 3\sqrt{15} + 8\sqrt{15} - 2 \times 3$

$= 60 - 6 + 5\sqrt{15} = 54 + 5\sqrt{15}$

(4) $(\sqrt{5} + 2)^2$

展開の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用います。

$(\sqrt{5})^2 + 2 \times \sqrt{5} \times 2 + 2^2$

$= 5 + 4\sqrt{5} + 4 = 9 + 4\sqrt{5}$

(5) $(3\sqrt{2} - \sqrt{6})^2$

展開の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を用います。

$(3\sqrt{2})^2 - 2 \times 3\sqrt{2} \times \sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$

$= 9 \times 2 - 6\sqrt{12} + 6$

$= 18 + 6 - 6\sqrt{4 \times 3} = 24 - 6 \times 2\sqrt{3} = 24 - 12\sqrt{3}$

(6) $(2\sqrt{2} + \sqrt{3})(2\sqrt{2} - \sqrt{3})$

展開の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用います。

$(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2$

$= 4 \times 2 - 3 = 8 - 3 = 5$

問題45

(1) $\frac{4}{\sqrt{7}}$

分母分子に $\sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{4 \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{7}}{7}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

分母分子に $\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

(3) $\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{18}}$

$\sqrt{9}=3$, $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$より、

$\frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

分母分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{54}}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}$より、

$\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{4}{3\sqrt{3}}$

分母分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3 \times 3} = \frac{4\sqrt{3}}{9}$

(5) $\frac{1}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}$

分母分子に $\sqrt{10} - \sqrt{7}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} - \sqrt{7})} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{10 - 7} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$

分母分子に $\sqrt{7} + \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{7 - 3} = \frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{4}$

(7) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$

分母分子に $\sqrt{6} - \sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{6} + \sqrt{3})(\sqrt{6} - \sqrt{3})} = \frac{6 - 2\sqrt{18} + 3}{6 - 3} = \frac{9 - 2\sqrt{9 \times 2}}{3} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3} = 3 - 2\sqrt{2}$

(8) $\frac{\sqrt{7} + 5}{\sqrt{7} - 5}$

分母分子に $\sqrt{7} + 5$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{7} + 5)^2}{(\sqrt{7} - 5)(\sqrt{7} + 5)} = \frac{7 + 10\sqrt{7} + 25}{7 - 25} = \frac{32 + 10\sqrt{7}}{-18} = \frac{16 + 5\sqrt{7}}{-9} = -\frac{16 + 5\sqrt{7}}{9}$

3. 最終的な答え

問題44

(1) $20\sqrt{21}$

(2) $6\sqrt{6}$

(3) $54 + 5\sqrt{15}$

(4) $9 + 4\sqrt{5}$

(5) $24 - 12\sqrt{3}$

(6) $5$

問題45

(1) $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

(2) $\frac{\sqrt{15}}{5}$

(3) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(4) $\frac{4\sqrt{3}}{9}$

(5) $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{7}}{3}$

(6) $\frac{\sqrt{14} + \sqrt{6}}{4}$

(7) $3 - 2\sqrt{2}$

(8) $-\frac{16 + 5\sqrt{7}}{9}$